Usando o método da bisseção, determine um zero de p(x)=x^3-5 x^2+6 no intervalo [1,2].

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar, pelo método da bisseção, um valor x tal que
p(x)=x^3-5,x^2+6=0
no intervalo inicial [1,2]. Para isso vamos precisar verificar mudança de sinal de p, escolher uma tolerância varepsilon e iterar até que o comprimento do intervalo seja menor que varepsilon.

Passo 2

Verificamos os extremos do intervalo:
p(1)=1-5+6=2>0,
p(2)=8-20+6=-6<0
Como p(1),p(2)<0, existe pelo menos uma raiz em [1,2].

Passo 3

Escolhemos como critério de parada uma tolerância
varepsilon = 0,01
para o erro máximo no zero. No método da bisseção, depois de n iterações o tamanho do intervalo é b-a2^n. Queremos
2-12^n<0,01Longrightarrow 2^n>100Longrightarrow n>=7

Passo 4

Então faremos n=7 iterações. Em cada iteração calculamos o ponto médio
mk=ak-1+bk-12
e avaliamos p(mk) para decidir em qual subintervalo fica a raiz.

Passo 5

Iterando:
Iteração 1: a0=1, b0=2,
m1=1,5, p(m1)=-1,875<0
novo intervalo [1,1,5].
Iteração 2: a1=1, b1=1,5,
m2=1,25, p(m2)=0,140625>0
novo intervalo [1,25,1,5].
Iteração 3: a2=1,25, b2=1,5,
m3=1,375, p(m3)=-0,857421875<0
novo intervalo [1,25,1,375].
Iteração 4: a3=1,25, b3=1,375,
m4=1,3125, p(m4)=-0,3522949219<0
novo intervalo [1,25,1,3125].
Iteração 5: a4=1,25, b4=1,3125,
m5=1,28125, p(m5)=-0,10467529297<0
novo intervalo [1,25,1,28125].
Iteração 6: a5=1,25, b5=1,28125,
m6=1,265625, p(m6)=0,01817321777>0
novo intervalo [1,265625,1,28125].
Iteração 7: a6=1,265625, b6=1,28125,
m7=1,2734375, p(m7)=-0,04339694977<0
novo intervalo final [1,265625,1,2734375] com comprimento tfrac1,2734375-1,2656251<0,01.

Resposta

Um zero aproximado de p(x) em [1,2] é
boxedxapprox1,27344

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