Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
x^4+2 x^3-5 x^2-36 x+60=0, sabendo que x=2 é uma raiz de multiplicidade 2 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver
x^4+2x^3-5x^2-36x+60=0
sabendo que x=2 é raiz de multiplicidade 2.
Conteúdo: fatoração de polinômios usando divisão sintética (ou longa) quando se conhece uma raiz, e depois obtenção das demais raízes pelo polinômio resultante.

Passo 2

Como x=2 é raiz, dividimos P(x)=x^4+2x^3-5x^2-36x+60 por x-2 usando divisão sintética:
coeficientes de P: 1,;2,;-5,;-36,;60
Aplicando 2:
c|rrrrr 2 & 1 & 2 & -5 & -36 & 60 & & 2 & 4 & 3 & -30hline & 1 & 4 & -1 & -33 & 30
Na verdade temos de repetir a sintética até obter resto zero duas vezes, mas vamos refazer corretamente:
Primeira divisão por x-2:
c|ccccc 2 & 1 & 2 & -5 & -36 & 60 & & 2 & 8 & 6 & -60hline & 1 & 4 & 3 & -30 & 0
Logo o quociente é x^3+4x^2+3x-30.

Passo 3

Repetimos a divisão sintética do quociente x^3+4x^2+3x-30 por x-2:
coeficientes: 1,;4,;3,;-30
c|cccc 2 & 1 & 4 & 3 & -30 & & 2 & 12 & 30hline & 1 & 6 & 15 & 0
O quociente agora é x^2+6x+15 e o resto é zero, confirmando multiplicidade 2 de x=2.

Passo 4

Portanto a fatoração sobre R é
x^4+2x^3-5x^2-36x+60=(x-2)^2,(x^2+6x+15)

Passo 5

Para achar as raízes da equação, igualamos cada fator a zero. De (x-2)^2=0 vem x=2 (multiplicidade 2).
Da equação
x^2+6x+15=0
usamos a fórmula de Bhaskara com De<a=6^2-4cdot1cdot15=36-60=-24. Assim
x=-6pmraiz-242=-3pm iraiz6

Resposta

As raízes são
x=2(mu<iplicidade 2), x=-3+iraiz6, x=-3-iraiz6,
e a forma fatorada do polinômio é
(x-2)^2(x^2+6x+15)

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