Usando o método da bisseção, determine um zero de p(x)=-x^3+4 x^2-2 x+5 no intervalo [1,5].

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da bisseção e encontrar um zero da função
p(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5
no intervalo [1,5]. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (que garante existência de raiz quando p é contínua e muda de sinal) e o próprio algoritmo da bisseção para aproximar essa raiz.

Passo 2

Checamos os valores nos extremos do intervalo:
p(1) = -1 + 4 - 2 + 5 = 6 > 0, p(5) = -125 + 100 - 10 + 5 = -30 < 0
Como p(1)cdot p(5)<0 e p é um polinômio (logo contínuo), existe pelo menos uma raiz em [1,5].

Passo 3

No método da bisseção, a cada iteração escolhemos o ponto médio
mk = ak-1 + bk-12,
avaliamos p(mk) e definimos o novo intervalo [ak,bk] de modo que p(ak) e p(bk) mantenham sinais opostos. Repetimos até que o comprimento do intervalo bk - ak seja menor que a tolerância escolhida. Aqui usamos tolerância varepsilon = 0,01, para obter aproximadamente duas casas decimais corretas.

Passo 4

Aplicando iterações até ;bk - ak < 0,01:
1. a0=1, b0=5,
m1 = 1+52 = 3, p(3) = -27 + 36 - 6 + 5 = 8 > 0
logo [a1,b1]=[3,5], comprimento 2.
2.
m2 = 3+52 = 4, p(4) = -64 + 64 - 8 + 5 = -3 < 0
logo [a2,b2]=[3,4], comprimento 1.
3.
m3 = 3+42 = 3,5, p(3,5) = -42,875 + 49 - 7 + 5 = 4,125 > 0
logo [a3,b3]=[3,5,4], comprimento 0,5.
4.
m4 = 3,5+42 = 3,75, p(3,75) = -52,7344 + 56,25 - 7,5 + 5 = 1,0156 > 0
logo [a4,b4]=[3,75,4], comprimento 0,25.
5.
m5 = 3,75+42 = 3,875, p(3,875) = -58,1790 + 60,0625 - 7,75 + 5 = -0,8662 < 0
logo [a5,b5]=[3,75,3,875], comprimento 0,125.
6.
m6 = 3,75+3,8752 = 3,8125, p(3,8125) = -55,4209 + 58,1406 - 7,625 + 5 = 0,0947 > 0
logo [a6,b6]=[3,8125,3,875], comprimento 0,0625.
7.
m7 = 3,8125+3,8752 = 3,84375, p(3,84375) = -56,7849 + 59,0938 - 7,6875 + 5 = -0,3787 < 0
logo [a7,b7]=[3,8125,3,84375], comprimento 0,03125.
8.
m8 = 3,8125+3,843752 = 3,828125, p(3,828125) = -56,1011 + 58,6182 - 7,6563 + 5 = -0,1392 < 0
logo [a8,b8]=[3,8125,3,828125], comprimento 0,015625.
9.
m9 = 3,8125+3,8281252 = 3,8203125, p(3,8203125) approx -0,0184 < 0
logo [a9,b9]=[3,8125,3,8203125], comprimento 0,0078125 < 0,01.
No fim, tomamos como aproximação o ponto médio
x^* = 3,8125 + 3,82031252 = 3,81640625

Resposta

Um zero de p(x) em [1,5], obtido por bisseção com precisão de 0,01, é
x approx 3,82

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