Para cada equação abaixo, trace os gráficos da expressão do lado esquerdo e da expressão do lado direito. Use um programa gráfico e adote o mesmo intervalo para x. Se os gráficos sugerirem que se trata de uma identidade, prove-a algebricamente.
sen(x-pi2) tan (x)=-sen(x)

Passo 1

O enunciado nos convida a comparar os gráficos de
f(x)=sinl(x-tfracpi2r),tan(x)
e
g(x)=-sin(x)
no mesmo intervalo de x. O conteúdo que vamos usar é manipulação de identidades trigonométricas—em especial a fórmula do seno da diferença de ângulos e a definição de tan(x).

Passo 2

Usando um programa gráfico (por exemplo GeoGebra) em xin[-2pi,2pi], traçamos f(x) e g(x) simultaneamente. Observamos que sempre que tan(x) está definida (isto é, quando cos(x)neq0), os dois gráficos coincidem exatamente, havendo apenas descontinuidades em f nos pontos onde tan tem assíntota. Isso sugere fortemente que
sinl(x-tfracpi2r),tan(x)=-sin(x)

Passo 3

Para provar algébrica, começamos pela identidade
sinl(x-tfracpi2r) =sin(x)costfracpi2-cos(x)sintfracpi2 =sin(x)cdot0-cos(x)cdot1 =-cos(x)
Em seguida,
sinl(x-tfracpi2r),tan(x) =-cos(x),sin(x)cos(x) =-sin(x),
válido sempre que cos(x)neq0 (ou seja, onde tan(x) existe).

Resposta

sinl(x-tfracpi2r),tan(x)=-sin(x) para todo (x) em que (tan(x)) está definida á

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