Para cada função f dada, trace os gráficos de y=f(x), y=f(x)+2, y=f(x)-1, y=f(x+2) e y=f(x-1).
f(x)=x^4-4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para traçarmos o gráfico de
y=f(x) com f(x)=x^4-4x^2
e em seguida os gráficos das funções obtidas por deslocamentos verticais e horizontais:
y=f(x)+2, y=f(x)-1, y=f(x+2) e y=f(x-1).
O conteúdo é transformações de gráficos: deslocamentos para cima/baixo e para a direita/esquerda.

Passo 2

Analisamos primeiro o gráfico de base y=f(x)=x^4-4x^2.
Derivando,
f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2),
que zera em x=0 e x=pmraiz2.
Usando
f''(x)=12x^2-8,
vemos que em x=0 temos f''(0)=-8<0 (máximo local em (0,0)) e em x=pmraiz2 temos f''(pmraiz2)=16>0 (mínimos locais em l(pmraiz2,-4r)).
As raízes de f são x=0 e x=pm2, e para lvert xrverttoinfty, f(x)to+infty. O gráfico tem forma de “W” simétrica em torno do eixo y.

Passo 3

Para y=f(x)+2 aplicamos um deslocamento vertical de +2: cada ponto (x,y) de y=f(x) vai para l(x,y+2r).
Em particular
– máximo local em (0,0+2)=(0,2),
– mínimos locais em l(pmraiz2,-4+2r)=l(pmraiz2,-2r),
– raízes agora satisfazem x^4-4x^2+2=0, i.e.\ x^2=2pmraiz2.

Passo 4

Para y=f(x)-1 fazemos deslocamento vertical de -1: cada ponto (x,y) vai para l(x,y-1r).
Em particular
– máximo local em (0,-1),
– mínimos locais em l(pmraiz2,-5r),
– raízes satisfazem x^4-4x^2-1=0.

Passo 5

Para y=f(x+2) aplicamos deslocamento horizontal de +2 na abscissa, ou seja, o gráfico de y=f(x) é movido 2 unidades para a esquerda.
Em outras palavras, cada ponto original (x,y) passa a ser (x-2,y).
Em particular
– máximo local agora em l(-2,0r),
– mínimos locais em l(-2pmraiz2,-4r),
– raízes em x+2=0,pm2, i.e.\ x=-2,0,-4.

Passo 6

Para y=f(x-1) fazemos deslocamento horizontal de -1 (para a direita 1): cada ponto (x,y) vai para (x+1,y) no gráfico original.
Em particular
– máximo local em l(1,0r),
– mínimos locais em l(1pmraiz2,-4r),
– raízes em x-1=0,pm2, i.e.\ x=1,3,-1.

Resposta

y = f(x): gráfico “W” de x^4-4x^2 com máximo em (0,0), mínimos em (pmraiz2,-4) e raízes em x=0,pm2.
y = f(x) +2: gráfico de f deslocado 2 unidades para cima.
y = f(x)- 1: gráfico de f deslocado 1 unidade para baixo.
y = f(x +2): gráfico de f deslocado 2 unidades para a esquerda.
y = f(x- 1): gráfico de f deslocado 1 unidade para a direita.

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