5.2.10 Uma calculadora de bolso dá o resultado
\sum_{n=1}^{100} n^{-3}=1,202007
Mostre que
1,202056 \leq \sum_{n=1}^{\infty} n^{-3} \leq 1,202057
Sugestão: Use integrais para determinar os limites superior e inferior para \sum_{n=101}^{\infty} n^{-3}.

Passo 1

O enunciado dá o valor parcial
\sum_{n=1}^{100} n^{-3} = 1,202007
e pede cotas para o somatório completo \sum_{n=1}^{\infty}n^{-3}. O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes, que relaciona a soma do resto da série com integrais de f(x)=x^{-3}.

Passo 2

Como f(x)=x^{-3} é positiva e decrescente em [1,\infty), vale para todo inteiro n\ge1:
\int_{n+1}^{\infty}x^{-3}\,dx \;\le\;\sum_{k=n+1}^{\infty}k^{-3}\;\le\;\int_{n}^{\infty}x^{-3}\,dx.
Aqui tomamos n=100 para estimar o resto \displaystyle R=\sum_{n=101}^\infty n^{-3}.

Passo 3

Calculamos as integrais:
\int_{100}^{\infty}x^{-3}\,dx = \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_{100}^{\infty} = \frac{1}{2\cdot100^2} = \frac{1}{20000} = 0,00005,
\int_{101}^{\infty}x^{-3}\,dx = \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_{101}^{\infty} = \frac{1}{2\cdot101^2} = \frac{1}{20402} \approx 0,000049.
Logo,
0,000049 \le R \le 0,00005.

Passo 4

Como \sum_{n=1}^{\infty}n^{-3} = \sum_{n=1}^{100}n^{-3} + R, somamos as cotas:
1,202007 + 0,000049 \;\le\; \sum_{n=1}^{\infty}n^{-3} \;\le\; 1,202007 + 0,00005,
que dá exatamente
1,202056 \;\le\; \sum_{n=1}^{\infty}n^{-3} \;\le\; 1,202057.

Resposta

1,202056 \leq \sum_{n=1}^{\infty} n^{-3} \leq 1,202057

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