5.2.5 Muitas vezes, o teste de Gauss é dado na forma de um teste da razão
\frac{u_{n}}{u_{n+1}}=\frac{n^{2}+a_{1} n+a_{0}}{n^{2}+b_{1} n+b_{0}} .
Para quais valores dos parâmetros a_{1} e b_{1} há convergência? Divergência?
Resposta: Convergente para a_{1}-b_{1}>1, divergente para a_{1}-b_{1} \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá uma série \sum u_n cujo teste de Gauss (um refinamento do teste da razão) aparece na forma
\frac{u_{n}}{u_{n+1}} =\frac{n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{n^{2}+b_{1}n+b_{0}}.
Queremos achar para quais valores de a_{1} e b_{1} a série converge ou diverge. Vamos usar o critério de Gauss, que analisa a expansão assintótica de \frac{u_{n+1}}{u_n}.

Passo 2

Expandimos para n\to\infty a razão
\frac{u_{n}}{u_{n+1}} =\frac{n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{n^{2}+b_{1}n+b_{0}} =\frac{n^{2}\Bigl(1+\frac{a_{1}}{n}+\frac{a_{0}}{n^{2}}\Bigr)} {n^{2}\Bigl(1+\frac{b_{1}}{n}+\frac{b_{0}}{n^{2}}\Bigr)}.
Usando a expansão \frac{1+X}{1+Y}=1+(X-Y)+O(1/n^2), obtemos
\frac{u_{n}}{u_{n+1}} =1+\frac{a_{1}-b_{1}}{n}+O\bigl(\tfrac1{n^{2}}\bigr).

Passo 3

Invertendo a razão, chega-se a
\frac{u_{n+1}}{u_{n}} =1-\frac{a_{1}-b_{1}}{n}+O\bigl(\tfrac1{n^{2}}\bigr).
No teste de Gauss escrevemos
\frac{u_{n+1}}{u_n} =1-\frac{\lambda}{n}+o\bigl(\tfrac1n\bigr),
com \lambda=a_{1}-b_{1}.

Passo 4

O critério de Gauss diz:
– se \lambda>1, então \sum u_n converge;
– se \lambda\le1, então \sum u_n diverge.

Resposta

Converge para
a_{1}-b_{1}>1,
e diverge para
a_{1}-b_{1}\le1.

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