Teste para convergência
\sum_{n=1}^{\infty}[n(n+1)]^{-1 / 2}
5.2.6

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigl[n(n+1)\bigr]^{-1/2}.
O conteúdo é estudo de séries numéricas e vamos usar o teste da comparação em limite (limit comparison test).

Passo 2

Definimos \displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}
e escolhemos como série de comparação a harmônica \displaystyle b_n = \frac{1}{n},
pois sabemos que \sum b_n diverge.

Passo 3

Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt{n(n+1)}}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1n}} = 1.
Esse limite é finito e não nulo, e como \sum b_n (a série harmônica) diverge, pelo teste de comparação em limite concluímos que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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