Calcular o comprimento do arco da epiciclóide
& x=(a+b) cos t-b cos a+bb t & y=(a+b) sen t-b sen a+bb t

Passo 1

O enunciado dá a epiciclóide com parâmetro t
x=(a+b)cos t - bcosl(tfraca+bb,tr), y=(a+b)sin t - bsinl(tfraca+bb,tr),
e pede o comprimento de arco de uma volta completa. Para curvas paramétricas usamos
L = integralt1^t2 raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2,dt
Vamos calcular dxdt, dydt, simplificar o radicando com identidades trigonométricas e identificar o intervalo de uma volta (de 0 a 2pi, pois tfraca+bb é inteiro quando a epiciclóide fecha).

Passo 2

Calculemos as derivadas:
dxdt =-(a+b)sin t ;+;bcdota+bb,sin!l(tfraca+bbtr) = (a+b)l[sinl(tfraca+bbtr)-sin tr],
dydt =(a+b)cos t ;-;(a+b)cos!l(tfraca+bbtr) =(a+b)l[cos t - cosl(tfraca+bbtr)r]

Passo 3

Somando os quadrados e usando
(sinalpha-sinbeta)^2+(cosbeta-cosalpha)^2 =2l[1-cos(alpha-beta)r],
com alpha=tfraca+bbt e beta=t, obtemos
l(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 = (a+b)^2;2l[1-cosl(tfracabtr)r] =4(a+b)^2sin^2!l(tfraca2btr)
Logo
raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 =2(a+b),l|sin!l(tfraca2btr)r|

Passo 4

Como tfraca+bb é inteiro, a curva fecha para uma volta inteira quando t vai de 0 a 2pi. Assim
L = integral0^2pi2(a+b),l|sin!l(tfraca2btr)r|,dt
Para avaliar essa integral, faça a mudança de variável
u=tfraca2b,t, dt=tfrac2ba,du,
então t=0to u=0 e t=2pito u=tfraca2b,2pi=picdottfracab. Como tfracab é inteiro, u percorre um número inteiro de meios-períodos de sin u.

Passo 5

Aplicando a substituição:
L =2(a+b)integral0^2pil|sin!l(tfraca2btr)r|,dt =2(a+b),2ba!integral0^piab!|sin u|,du
Como ab é inteiro, integral0^piab|sin u|,du =tfracabintegral0^pi|sin u|,du =tfracabcdot2 =2,tfracab
Logo
L =2(a+b),2bacdot2,ab =8,(a+b)

Resposta

O comprimento de arco de uma volta completa da epiciclóide é
boxedL = 8,(a + b)

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