e pede o comprimento de arco de uma volta completa. Para curvas paramétricas usamos
Vamos calcular , , simplificar o radicando com identidades trigonométricas e identificar o intervalo de uma volta (de a , pois é inteiro quando a epiciclóide fecha).
Passo 2
Calculemos as derivadas:
Passo 3
Somando os quadrados e usando
com e , obtemos
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Passo 4
Como tfraca+bb é inteiro, a curva fecha para uma volta inteira quando t vai de 0 a 2pi. Assim
L = integral0^2pi2(a+b),l|sin!l(tfraca2btr)r|,dt
Para avaliar essa integral, faça a mudança de variável
u=tfraca2b,t, dt=tfrac2ba,du,
então t=0to u=0 e t=2pito u=tfraca2b,2pi=picdottfracab. Como tfracab é inteiro, u percorre um número inteiro de meios-períodos de sin u.
Passo 5
Aplicando a substituição:
L =2(a+b)integral0^2pil|sin!l(tfraca2btr)r|,dt =2(a+b),2ba!integral0^piab!|sin u|,du
Como ab é inteiro, integral0^piab|sin u|,du =tfracabintegral0^pi|sin u|,du =tfracabcdot2 =2,tfracab
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L =2(a+b),2bacdot2,ab =8,(a+b)
Resposta
O comprimento de arco de uma volta completa da epiciclóide é
boxedL = 8,(a + b)
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 144