A curva para a qual o comprimento da tangente, compreendido entre o panto de contacto e o eixo dos é sempre igual a , é denominada tralória. Fstabelecer a sua equação. Mostrar que o raio de curvatura em cada ponto da curia é inversamente proporcional ao comprimento da normal compreendida entre a ponto da curva e o eixo dos . Calcular o comprimento do arco da tratória, eslabelecendo as equações paramétricas em função do comprimento do arco.
Passo 1
O enunciado diz que a curva é tal que, em qualquer ponto , o comprimento da tangente desde o ponto de contacto até o eixo dos vale sempre uma constante . O que precisamos é
Traduzir essa condição em equação diferencial,
Resolver para obter a equação da curva (a tratória),
Calcular o raio de curvatura e o comprimento da normal ao eixo e mostrar a proporção pedida,
Determinar o comprimento de arco e escrever equações paramétricas em função de .
Passo 2
Seja . A reta tangente em tem equação
No eixo temos , logo o ponto de interseção é
O segmento entre e tem comprimento
Pela condição do enunciado,
que é a equação diferencial da tratória.
Passo 3
Da equação
temos
Escolhendo o ramo “” por convenção, integramos
Uma primitiva conhecida leva a
Tomando para fixar uma posição-padrão, obtemos a equação da tratória:
Passo 4
Vamos mostrar que o raio de curvatura é inversamente proporcional ao comprimento da normal até o eixo .
A normal em tem coeficiente . Intersectando com obtemos o ponto .