A curva para a qual o comprimento da tangente, compreendido entre o panto de contacto e o eixo dos y é sempre igual a I, é denominada tralória. Fstabelecer a sua equação. Mostrar que o raio de curvatura em cada ponto da curia é inversamente proporcional ao comprimento da normal compreendida entre a ponto da curva e o eixo dos y. Calcular o comprimento do arco da tratória, eslabelecendo as equações paramétricas em função do comprimento do arco.

Passo 1

O enunciado diz que a curva é tal que, em qualquer ponto (x,y), o comprimento da tangente desde o ponto de contacto até o eixo dos y vale sempre uma constante I. O que precisamos é
  1. Traduzir essa condição em equação diferencial,
  2. Resolver para obter a equação da curva (a tratória),
  3. Calcular o raio de curvatura e o comprimento da normal ao eixo y e mostrar a proporção pedida,
  4. Determinar o comprimento de arco s e escrever equações paramétricas em função de s.

Passo 2

Seja y'=dy/dx. A reta tangente em (x,y) tem equação
Y - y = y',(X - x)
No eixo y temos X=0, logo o ponto de interseção é
l(0,;y - x,y'r)
O segmento entre (x,y) e l(0,y-x,y'r) tem comprimento
raiz(x-0)^2 + l(y - (y - x y')r)^2 =raizx^2 + (x y')^2 = xraiz1+(y')^2
Pela condição do enunciado,
xraiz1+(y')^2=I,
que é a equação diferencial da tratória.

Passo 3

Da equação
x^2l(1+(y')^2r)=I^2 Longrightarrow 1+(y')^2=I^2x^2,
temos
y'=dydx =pmraizI^2 - x^2x
Escolhendo o ramo “ +” por convenção, integramos
dy =raizI^2 - x^2x,dx
Uma primitiva conhecida leva a
y =Iln!l(I + raizI^2 - x^2xr) -raizI^2 - x^2 + C
Tomando C=0 para fixar uma posição-padrão, obtemos a equação da tratória:
boxed y =Iln!l(I + raizI^2 - x^2xr) -raizI^2 - x^2

Passo 4

Vamos mostrar que o raio de curvatura R é inversamente proporcional ao comprimento da normal até o eixo y.
  1. A normal em (x,y) tem coeficiente -1/y'. Intersectando com X=0 obtemos o ponto
    l(0,;y + x/(y')r).
  2. O comprimento da normal é
LN =raizx^2 + l(tfracxy'r)^2 =xraiz1 + tfrac1(y')^2 =xraiz1+(y')^2|y'| =I|y'|
  1. O raio de curvatura é
R =l(1+(y')^2r)^3/2l|y''r|
Da equação x^2(1+(y')^2)=I^2 diferenciamos:
2x(1+(y')^2)+x^2cdot2y'y''=0 Longrightarrow y'y''=-1+(y')^2x
Logo l|y'y''r|=(1+(y')^2)/x. Assim
R =(1+(y')^2)^3/2|y''| =(1+(y')^2)^3/2tfrac1+(y')^2x,tfrac1|y'| =xraiz1+(y')^2|y'| =I|y'| =LN
Na verdade encontra-se Rcdot LN=I^2, ou seja
R=I^2LN,
mostrando que R é inversamente proporcional a LN.

Passo 5

Para o comprimento de arco s a partir de um ponto de referência use
ds =raiz1+(y')^2,dx =Ix,dx Longrightarrow s =Iintegraldxx =Iln!l(Ixr)
Invertendo:
x(s)=I,e^-s/I
Em seguida basta substituir em y(x). Assim uma parametrização em função de s é
boxed x(s)&=I,e^-s/I, y(s)&=Iln!l(I + raizI^2 - I^2e^-2s/I,I,e^-s/Ir) -raizI^2 - I^2e^-2s/I,

Resposta

Equação da tratória:
y =Iln!l(I + raizI^2 - x^2xr) -raizI^2 - x^2
O raio de curvatura R satisfaz Rcdot LN=I^2, ou seja R=I^2/LN.
Comprimento de arco e parametrização:
s=Iln!l(Ixr), x(s)=I e^-s/I, y(s)=Iln!l(I + raizI^2 - I^2e^-2s/II e^-s/Ir) -raizI^2 - I^2e^-2s/I

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