Calcular os seguintes limites:
  • lim x infty x[(1+1x)^x-e log (1+1x)^x].

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyxl[,(1+1/x)^x-e,logl((1+1/x)^xr)r]
O conteúdo é expansão em série de Taylor para logaritmo e exponencial quando x é grande.

Passo 2

Expandimos primeiro
logl(1+tfrac1xr)=tfrac1x-tfrac12x^2+tfrac13x^3+Ol(x^-4r)
Multiplicando por x, obtemos
xlogl(1+tfrac1xr)=1-tfrac12x+tfrac13x^2+Ol(x^-3r)

Passo 3

Logo
(1+1/x)^x =expl(xlog(1+1/x)r) =expl(1-tfrac12x+tfrac13x^2+O(x^-3)r)
Escrevendo exp(1+u)=e,exp(u) e usando exp(u)=1+u+u^2/2+O(u^3) com u=-tfrac12x+tfrac13x^2, vem
(1+1/x)^x =el(1-tfrac12x+tfrac1124x^2+O(x^-3)r)

Passo 4

Agora
logl((1+1/x)^xr) =1-tfrac12x+tfrac13x^2+O(x^-3),
de modo que
e,logl((1+1/x)^xr) =el(1-tfrac12x+tfrac13x^2+O(x^-3)r)

Passo 5

Subtraindo,
(1+1/x)^x-e,logl((1+1/x)^xr) =el(tfrac1124x^2-tfrac13x^2r)+O(x^-3) =tfrace8x^2+O(x^-3)

Passo 6

Multiplicando por x,
xl[,(1+1/x)^x-e,logl((1+1/x)^xr)r] =tfrace8x+O(x^-2),
que tende a 0 quando xtoinfty.

Resposta

0

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