Deduzir a fórmula da integral para o resto Rn, aplicando a integração por partes a
f(x+h)-f(x)=integral0^h f^prime(x+tau) d tau

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a forma integral do resto da fórmula de Taylor de ordem n, ou seja, mostrar que
f(x+h)=sumk=0^nh^kk!f^(k)(x)+Rn
com
Rn=1n!integral0^h(h-tau)^nf^(n+1)(x+tau),dtau
Vamos usar repetidas vezes a integração por partes a partir da identidade
f(x+h)-f(x)=integral0^hf^prime(x+tau),dtau

Passo 2

Para expor melhor o padrão, fazemos a mudança de variável
t=h-tau,
logo tau=h-t e dtau=-dt. Assim
integral0^hf^prime(x+tau),dtau =integralh^0f^prime(x+h-t)(-dt) =integral0^hf^prime(x+h-t),dt
Logo
f(x+h)-f(x)=integral0^hf^prime(x+h-t),dt

Passo 3

Aplicamos integração por partes uma vez em
integral0^hf^prime(x+h-t),dt,
tomando
u=f^prime(x+h-t), dv=dt
implies du=-f^primeprime(x+h-t),dt, v=t. Então
integral0^hf^prime(x+h-t),dt =l[t,f^prime(x+h-t)r]0^h -integral0^htl(-f^primeprime(x+h-t)r),dt
= h,f^prime(x) +integral0^ht,f^primeprime(x+h-t),dt
Logo
f(x+h)-f(x)=h,f^prime(x) +integral0^ht,f^primeprime(x+h-t),dt

Passo 4

Repetimos a integração por partes no termo integral
integral0^ht,f^primeprime(x+h-t),dt, tomando agora
u=f^primeprime(x+h-t), dv=t,dt
implies du=-f^primeprimeprime(x+h-t),dt, v=tfract^22. Isso gera o termo tfrach^22f^primeprime(x) mais
integral0^htfract^22f^primeprimeprime(x+h-t),dt. Ao repetir esse processo n vezes, percebe-se o padrão: em cada passo surge um termo tfrach^kk!f^(k)(x) e sobra sempre um integral com t^k.

Passo 5

Depois de n integrações por partes obtemos
f(x+h)-f(x) =sumk=1^nh^kk!f^(k)(x) +1n!integral0^ht^nf^(n+1)(x+h-t),dt
Voltando à variável tau = h-t no integral final, chega-se a
Rn =1n!integral0^h(h-tau)^nf^(n+1)(x+tau),dtau

Resposta

Rn =1n!integral0^h(h-tau)^nf^(n+1)(x+tau),dtau

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