Calcular as diagonais de um quadrilátero inscritível cujos lados são: \mathrm{AB}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{CD}=12 \mathrm{~cm} e \mathrm{DA}=20 \mathrm{~cm}.

Passo 1

Temos um quadrilátero ABCD inscritível (cíclico) com lados
\mathrm{AB}=5, \mathrm{BC}=8, \mathrm{CD}=12 e \mathrm{DA}=20 (todas em cm).
Queremos achar as diagonais \mathrm{AC} e \mathrm{BD}.
Conteúdos necessários: lei dos cossenos em triângulos e teorema de Ptolomeu para quadriláteros cíclicos.

Passo 2

Aplique a lei dos cossenos em \triangle ABC:
\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 - 2\,\mathrm{AB}\,\mathrm{BC}\,\cos\!\bigl(\angle ABC\bigr) =25 + 64 - 80\cos B =89 - 80\cos B.
Em \triangle ADC:
\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{DC}^2 -2\,\mathrm{AD}\,\mathrm{DC}\,\cos\!\bigl(\angle ADC\bigr) =400 +144 -480\cos(ADC) =544 -480\cos(ADC).
Como em quadrilátero cíclico \angle ADC = 180^\circ - B, tem \,\cos(ADC)=-\cos B.
Assim
\mathrm{AC}^2 =544 +480\cos B.

Passo 3

Igualando as duas expressões para \mathrm{AC}^2:
89 - 80\cos B =544 +480\cos B \quad\Longrightarrow\quad -560\cos B =455 \quad\Longrightarrow\quad \cos B = -\frac{455}{560} = -\frac{91}{112}.

Passo 4

Substituindo em \mathrm{AC}^2 =89 -80\cos B:
\mathrm{AC}^2 =89 -80\bigl(-\tfrac{91}{112}\bigr) =89 +65 =154 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{AC} = \sqrt{154}\,\mathrm{cm}.

Passo 5

Pelo teorema de Ptolomeu em quadrilátero cíclico:
\mathrm{AC}\,\mathrm{BD} = \mathrm{AB}\,\mathrm{CD} + \mathrm{BC}\,\mathrm{DA} =5\cdot12 +8\cdot20 =60 +160 =220.
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\mathrm{BD} = \frac{220}{\mathrm{AC}} = \frac{220}{\sqrt{154}} = \frac{10}{7}\sqrt{154}\,\mathrm{cm}.

Resposta

\mathrm{AC} = \sqrt{154}\,\mathrm{cm}
\mathrm{BD} = \frac{10}{7}\sqrt{154}\,\mathrm{cm}

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