Mostrar q:e
\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots=1
\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots=1
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge para
. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar a ideia de série telescópica para resolver.
Passo 2
Repare que, para
, podemos reescrever o termo geral
como diferença de frações factorial:
Passo 3
Definimos a soma parcial até
como
Substituindo a expressão do Passo 2, obtemos
Passo 4
Ao escrever os primeiros termos dessa soma telescópica, vemos o cancelamento em cadeia:
Quase tudo se anula, restando
Passo 5
Para obter a soma infinita, basta tomar o limite quando
. Como
, temos
Resposta
A série
converge para
.