Mostrar q:e
\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
12! + 23! + 34! + cdots
converge para 1. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar a ideia de série telescópica para resolver.

Passo 2

Repare que, para k>=1, podemos reescrever o termo geral k(k+1)! como diferença de frações factorial:
k(k+1)! = k+1-1(k+1)! = k+1(k+1)! ;-;1(k+1)! = 1k! ;-;1(k+1)!

Passo 3

Definimos a soma parcial até N como
SN = sumk=1^N k(k+1)!
Substituindo a expressão do Passo 2, obtemos
SN = sumk=1^Nl(1k! - 1(k+1)!r)

Passo 4

Ao escrever os primeiros termos dessa soma telescópica, vemos o cancelamento em cadeia:
SN = l(11!-12!r) + l(12!-13!r) + cdots + l(1N!-1(N+1)!r)
Quase tudo se anula, restando
SN = 11! - 1(N+1)! = 1 - 1(N+1)!

Passo 5

Para obter a soma infinita, basta tomar o limite quando Ntoinfty. Como 1(N+1)!to0, temos
sumk=1^inftyk(k+1)! = limNtoinfty SN = 1 - 0 = 1

Resposta

A série 12!+23!+34!+cdots converge para 1.

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