Derivar as funções seguintes:
e^tg^2 x+log sen x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^tan^2x+log(sin x)
O conteúdo envolvido é derivação de função composta (regra da cadeia), derivada da exponencial, da potência de tan x e do logaritmo natural de sin x.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=e^u(x), onde u(x)=tan^2x+log(sin x)
Pela regra da cadeia para a exponencial, temos
f'(x)=e^u(x);u'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x) separadamente:
  • Derivada de tan^2x:
ddxl(tan^2xr) =2,tan xcdotddx(tan x) =2,tan x;sec^2x
  • Derivada de log(sin x):
ddxl(log(sin x)r) =1sin xcdotcos x =cot x
Assim,
u'(x)=2,tan x;sec^2x+cot x

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x)=e^u(x),u'(x), obtemos
f'(x) =e^tan^2x+log(sin x) l(2,tan x;sec^2x+cot xr)

Resposta

f'(x) =e^tan^2x+log(sin x) l(2,tan x;sec^2x+cot xr)

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