Calcular o momento de inércia de uma barra de comprimento L,
(a) em relação ao seu centro;
(b) cm relação a um dos extremos;
(c) em relação a um ponto sôbre a linha da barra, a uma distância d do centro;
(d) em relação a qualquer ponto situado a uma distância d do centro.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma barra de massa M e comprimento L em diferentes eixos perpendiculares à barra. O que precisamos:
– Densidade linear lambda = M/L.
– Definição
I = integral x^2,dm
– Teorema dos eixos paralelos
I(d)=Irm cm+M,d^2

Passo 2

Calcular I em relação ao centro da barra. Colocamos o eixo em x=0, de modo que a barra vai de x=-L/2 a x=+L/2. Como dm=lambda,dx,
Irm cm =integral-L/2^L/2x^2,dm =lambdaintegral-L/2^L/2x^2,dx =ML[x^33]-L/2^L/2 =112,M,L^2

Passo 3

Calcular I em relação a um dos extremos. Agora colocamos o eixo em x=0 na ponta da barra, que vai de x=0 a x=L. Então
Irm end =lambdaintegral0^Lx^2,dx =MLcdotL^33 =13,M,L^2

Passo 4

Usar o teorema dos eixos paralelos para um eixo a distância d do centro:
I(d)=Irm cm+M,d^2 =112,M,L^2+M,d^2

Passo 5

Aplicando o resultado do passo anterior:
– (c) Para um ponto sobre a linha da barra a distância d do centro, vale
I=112,M,L^2+M,d^2
– (d) Para qualquer ponto a distância d do centro (dentro ou fora da barra), a expressão é a mesma:
I=112,M,L^2+M,d^2

Resposta

(a) Irm cm=112,M,L^2
(b) Irm end=13,M,L^2
(c) I=112,M,L^2+M,d^2
(d) I=112,M,L^2+M,d^2

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