Seja fix) uma função contínua para
. Suponhamos, além disso, que
admita sòmente valores racionais. e que
quando
. Provar, então, que
todo o intervalo.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e que
. Queremos provar que, na verdade,
para todo
.
O que vamos usar é o seguinte fato da análise:
* O teorema de que a imagem contínua de um conjunto conexo é um conjunto conexo.
* Em , conjuntos conexos são exatamente os intervalos.
O que vamos usar é o seguinte fato da análise:
* O teorema de que a imagem contínua de um conjunto conexo é um conjunto conexo.
* Em
Passo 2
O intervalo
é um conjunto conexo em
. Como
é contínua, a imagem
também é um conjunto conexo em
. Logo,
é um intervalo (pode ser degenerado).
Passo 3
Por outro lado, sabemos que
Mas qualquer intervalo não degenerado em
contém números irracionais. Como
não pode conter irracionais, o único intervalo contido em
é aquele que consiste de um único ponto. Portanto
para algum número racional
.
Passo 4
Para determinar
, basta usar o valor dado:
. Isso mostra que
. Portanto