Seja fix) uma função contínua para 0 <=q x <=q 1. Suponhamos, além disso, que f(x) admita sòmente valores racionais. e que f(x)=1 / 2 quando x=1 / 2. Provar, então, que f(x)=1 / 2 em todo o intervalo.

Passo 1

O enunciado diz que fcolon[0,1]toQ é contínua e que f(1/2)=1/2. Queremos provar que, na verdade, f(x)=1/2 para todo xin[0,1].
O que vamos usar é o seguinte fato da análise:
* O teorema de que a imagem contínua de um conjunto conexo é um conjunto conexo.
* Em R, conjuntos conexos são exatamente os intervalos.

Passo 2

O intervalo [0,1] é um conjunto conexo em R. Como f é contínua, a imagem f([0,1]) também é um conjunto conexo em R. Logo,
f([0,1])subsetR
é um intervalo (pode ser degenerado).

Passo 3

Por outro lado, sabemos que
f([0,1])subsetQ
Mas qualquer intervalo não degenerado em R contém números irracionais. Como f([0,1]) não pode conter irracionais, o único intervalo contido em Q é aquele que consiste de um único ponto. Portanto
f([0,1])=c
para algum número racional c.

Passo 4

Para determinar c, basta usar o valor dado: f(1/2)=1/2. Isso mostra que c=1/2. Portanto
f(x)=1/2 para todo xin[0,1]

Resposta

f(x)=tfrac12 em todo o intervalo [0,1]

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