Verificar se as integrais impróprias dos exemplos ns. 118-131 são convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{\infty} e{-x{2}} d x.
\int_{-\infty}^{\infty} e{-x{2}} d x.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Aqui a função
é contínua em
e o intervalo de integração é infinito, por isso devemos usar um critério de comparação e dividir o domínio em partes convenientes.
Passo 2
Vamos primeiro olhar a parte em um intervalo finito, por exemplo
. Como
é contínua em
, a integral
é um número finito.
Passo 3
Agora analisamos a cauda positiva
Para
vale
e sabemos que
Pelo critério da comparação, a integral de
de 1 a
também converge.
Passo 4
A cauda negativa
pode ser tratada do mesmo jeito: basta fazer a troca de variável
e cai no mesmo caso anterior. Logo, essa parte também converge.
Passo 5
Como as três partes
são convergentes, a integral original é convergente.
Resposta
A integral imprópria
é convergente.
é convergente.