Verificar se as integrais impróprias dos exemplos ns. 118-131 são convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{\infty} e{-x{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
integral-infty^infty e^-x^2,dx
é convergente ou divergente. Aqui a função e^-x^2 é contínua em R e o intervalo de integração é infinito, por isso devemos usar um critério de comparação e dividir o domínio em partes convenientes.

Passo 2

Vamos primeiro olhar a parte em um intervalo finito, por exemplo [-1,1]. Como e^-x^2 é contínua em [-1,1], a integral
integral-1^1 e^-x^2,dx
é um número finito.

Passo 3

Agora analisamos a cauda positiva
integral1^infty e^-x^2,dx
Para x>=1 vale
e^-x^2<= e^-x,
e sabemos que
integral1^infty e^-x,dx = e^-1<infty
Pelo critério da comparação, a integral de e^-x^2 de 1 a infty também converge.

Passo 4

A cauda negativa
integral-infty^-1 e^-x^2,dx
pode ser tratada do mesmo jeito: basta fazer a troca de variável t=-x e cai no mesmo caso anterior. Logo, essa parte também converge.

Passo 5

Como as três partes
integral-1^1 e^-x^2,dx, integral1^infty e^-x^2,dx, integral-infty^-1 e^-x^2,dx
são convergentes, a integral original é convergente.

Resposta

A integral imprópria
integral-infty^infty e^-x^2,dx
é convergente.

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