Calcular os seguintes limites:
lim x infty e2 x+x^2[(1+1x)^x-e].

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftygl(e2x + x^2l[l(1+tfrac1xr)^x-er]gr)
O conteúdo aqui é expansão assintótica de l(1+tfrac1xr)^x até ordem O(1/x^2) e depois simplificação para identificar o termo constante.

Passo 2

Usamos a expansão do logaritmo
lnl(1+tfrac1xr) = tfrac1x - tfrac12x^2 + tfrac13x^3 + Ol(x^-4r),
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lnl(1+tfrac1xr)^x = xl(tfrac1x - tfrac12x^2 + tfrac13x^3 + O(x^-4)r) = 1 - tfrac12x + tfrac13x^2 + Ol(x^-3r)

Passo 3

Agora exponenciamos
l(1+tfrac1xr)^x = e^,1 - tfrac12x + tfrac13x^2 + O(x^-3) = eexpl(-tfrac12x + tfrac13x^2 + O(x^-3)r)
Expandindo a exponencial até O(x^-2):
expl(-tfrac12x + tfrac13x^2r) = 1 +l(-tfrac12x + tfrac13x^2r) +tfrac12l(-tfrac12xr)^2 + O(x^-3) = 1 - tfrac12x + tfrac1124x^2 + O(x^-3)
Portanto
l(1+tfrac1xr)^x = e - e2x + 11e24x^2 + O(x^-3)

Passo 4

Substituímos na expressão do limite:
e2x + x^2l[l(1+tfrac1xr)^x-er] = e2x + x^2l(-tfrace2x + tfrac11e24x^2 + O(x^-3)r)
Simplificando,
= e2x - e2x + 11e24 + Ol(x^-1r) = 11e24 + Ol(x^-1r)

Passo 5

Quando xtoinfty, os termos O(x^-1) desaparecem, restando a constante tfrac11e24.

Resposta

11e24

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