- Sejam
dois números positivos,
e
dois números diferentes de zero,
. Provar que
para qualquer valor de
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
,
e
não nulos com
e
, vale
Este é um caso clássico da monotonicidade da média de potência (ou de Jensen para funções concavas). Vamos usar que a função
é concava sempre que
.
Passo 2
Defina
então
. Note que
Por outro lado,
Passo 3
Como
, a função
é concava em
. A desigualdade de Jensen para concavas diz que, para quaisquer
e
,
Aqui tomamos
e
. Assim
Passo 4
Da desigualdade do Passo 3 obtemos
Elevando ambos os lados à potência
(que é monotônica pois
), vem
Reescrevendo isso como uma fração, concluímos