• Sejam a, b dois números positivos, p e q dois números diferentes de zero, p<q. Provar que
6 a^p+(1-theta) b^p^1 / p[theta a^q+(1-b^a]^1 / a <=q 1
para qualquer valor de theta no intervalo 0<theta<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,b>0, p e q não nulos com p<q e 0<theta<1, vale
l[theta,a^p+(1-theta),b^pr]^1/pl[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^1/q<=1
Este é um caso clássico da monotonicidade da média de potência (ou de Jensen para funções concavas). Vamos usar que a função xmapsto x^t é concava sempre que 0<t<1.

Passo 2

Defina
t=pq,
então 0<t<1. Note que
theta,a^p+(1-theta),b^p =theta,(a^q)^,t+(1-theta),(b^q)^,t
Por outro lado,
l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^p/q =l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^,t

Passo 3

Como 0<t<1, a função
varphi(x)=x^t
é concava em (0,infty). A desigualdade de Jensen para concavas diz que, para quaisquer A,B>0 e 0<theta<1,
varphil(theta,A+(1-theta),Br)>= theta,varphi(A)+(1-theta),varphi(B)
Aqui tomamos A=a^q e B=b^q. Assim
l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^t ;>=;theta,(a^q)^t+(1-theta),(b^q)^t =theta,a^p+(1-theta),b^p

Passo 4

Da desigualdade do Passo 3 obtemos
l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^p/q >= theta,a^p+(1-theta),b^p
Elevando ambos os lados à potência 1/p (que é monotônica pois p>0), vem
l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^1/q >= l[theta,a^p+(1-theta),b^pr]^1/p
Reescrevendo isso como uma fração, concluímos
l[theta,a^p+(1-theta),b^pr]^1/p l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^1/q <=1

Resposta

l[theta,a^p+(1-theta),b^pr]^1/p l[theta,a^q+(1-theta),b^qr]^1/q <=1

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