Desenhar os gráficos seruintes, escrevendo, também, as equaçũes em coordenadas cartesianas:
r=22-cos theta (Elipse).

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 22 - costheta
e pede o gráfico (uma elipse) e a sua equação em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar as relações
;x = rcostheta,;y = rsintheta; e ;r = raizx^2+y^2

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 2-costheta:
r,(2 - costheta) = 2 ;Longrightarrow; 2r - rcostheta = 2

Passo 3

Substituímos rcostheta = x e r = raizx^2+y^2:
2raizx^2+y^2 - x = 2 ;Longrightarrow; 2raizx^2+y^2 = x + 2

Passo 4

Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e simplificamos:
4(x^2+y^2) = (x+2)^2 ;Longrightarrow; 4x^2 + 4y^2 = x^2 + 4x + 4 ;Longrightarrow; 3x^2 + 4y^2 - 4x - 4 = 0

Passo 5

Colocamos a conica em forma padrão completando o quadrado em x:
3l(x^2 - tfrac43xr) + 4y^2 = 4 ;Longrightarrow; 3l[(x - tfrac23)^2 - tfrac49r] + 4y^2 = 4
3(x - tfrac23)^2 - tfrac43 + 4y^2 = 4 ;Longrightarrow; 3(x - tfrac23)^2 + 4y^2 = tfrac163

Passo 6

Dividindo tudo por tfrac163 chega-se à forma canônica da elipse:
(x-tfrac23)^2tfrac169 ;+; y^2tfrac43 ;=; 1
Dessa forma, o centro é l(tfrac23,0r), o semieixo maior (horizontal) é
a = 43 e o semieixo menor (vertical) é
b = 2raiz3

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas é
(x-tfrac23)^216/9 ;+; y^24/3 = 1
É uma elipse centrada em l(tfrac23,0r) com semieixos a=tfrac43 (horizontal) e b=tfrac2raiz3 (vertical).

Exercícios de Livros Relacionados