8i. Provar que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
que envolve soma de potências com coeficientes lineares. O conteúdo principal é a soma da série geométrica e o uso da derivada para gerar o fator
.
Passo 2
Definimos a soma geométrica parcial
Sabemos que, para
, vale a fórmula clássica
Como a derivada de
é
, temos
que é precisamente a soma que queremos.
Passo 3
Agora vamos derivar
usando a regra do quociente. Se
e
, então
e
Passo 4
No numerador expandimos e agrupamos termos:
Logo
Passo 5
Como mostramos que
segue imediatamente a identidade desejada.