8i. Provar que sumi=1^n-1 i x^1-1=(n-1) x^n-n x^n-1+1(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
sumi=1^n-1 i,x^i-1 ;=;(n-1),x^n-n,x^n-1+1(x-1)^2,
que envolve soma de potências com coeficientes lineares. O conteúdo principal é a soma da série geométrica e o uso da derivada para gerar o fator i.

Passo 2

Definimos a soma geométrica parcial
g(x)=sumi=0^n-1x^i
Sabemos que, para xneq1, vale a fórmula clássica
g(x)=x^n-1x-1
Como a derivada de x^i é i,x^i-1, temos
g'(x)=sumi=1^n-1i,x^i-1,
que é precisamente a soma que queremos.

Passo 3

Agora vamos derivar
g(x)=x^n-1x-1
usando a regra do quociente. Se u(x)=x^n-1 e v(x)=x-1, então
u'(x)=n,x^n-1, v'(x)=1,
e
g'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(n,x^n-1)(x-1)-(x^n-1)cdot1(x-1)^2

Passo 4

No numerador expandimos e agrupamos termos:
(n,x^n-1)(x-1)-(x^n-1) = n,x^n-n,x^n-1-x^n+1 =(n-1),x^n-n,x^n-1+1
Logo
g'(x) =(n-1),x^n-n,x^n-1+1(x-1)^2

Passo 5

Como mostramos que
g'(x)=sumi=1^n-1i,x^i-1,
segue imediatamente a identidade desejada.

Resposta

sumi=1^n-1i,x^i-1 =(n-1),x^n-n,x^n-1+1(x-1)^2

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