Um dos termos no desenvolvimento de (x+3 a)^5 e 360 x^3. Sabendo que a não depende de x, determine o valor de a.

Passo 1

O enunciado pede o valor de a tal que, ao desenvolver (x+3a)^5 pela Teorema do Binômio, apareça o termo 360x^3. Vamos usar o binômio de Newton para escrever o termo geral de (x+3a)^5 e, em seguida, igualar o coeficiente do x^3 a 360.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio, o termo geral de (x+3a)^5 é
binom5k,x^5-k,(3a)^k, k=0,1,2,3,4,5

Passo 3

Para obter o termo em x^3 precisamos de 5-k=3, ou seja k=2. Substituindo k=2 no termo geral:
binom52,x^3,(3a)^2 =10;x^3;l(9a^2r) =90,a^2,x^3
Logo, o coeficiente do x^3 em (x+3a)^5 é 90a^2.

Passo 4

Queremos que esse coeficiente seja 360, isto é,
90,a^2=360
Dividindo ambos os lados por 90
a^2=4 Longrightarrow a=pm2

Resposta

a=2 ou a=-2.

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