Qual é o produto do terceiro pelo antepenúltimo termo do desenvolvimento de (x+1x)^n ?

Passo 1

O enunciado pede o produto do terceiro termo pelo antepenúltimo termo no desenvolvimento de l(x+tfrac1xr)^n. O conteúdo é o teorema do binômio de Newton e vamos precisar da expressão geral do (k+1)-ésimo termo.

Passo 2

Pelo binômio de Newton, o (k+1)-ésimo termo de l(x+tfrac1xr)^n é
Tk+1 ;=; binomnk,x^,n-kl(tfrac1xr)^k ;=;binomnk,x^,n-2k,

Passo 3

O terceiro termo corresponde a k=2. Logo,
T3 ;=;binomn2,x^,n-2cdot2 ;=;binomn2,x^,n-4,

Passo 4

n+1 termos no desenvolvimento, então o antepenúltimo é o termo de índice (n+1)-2=n-1. Isso corresponde a k=(n-1)-1=n-2. Portanto,
Tn-1 ;=;binomn,n-2,x^,n-2(n-2) ;=;binomn2,x^,n-2n+4 ;=;binomn2,x^,4-n,,
usando binomnn-2=binomn2.

Passo 5

O produto dos dois termos é
T3times Tn-1 =l(binomn2,x^,n-4r)timesl(binomn2,x^,4-nr) =binomn2^2,x^,(n-4)+(4-n) =binomn2^2,
Como binomn2=n(n-1)2, fica também
T3times Tn-1 =n^2(n-1)^24,

Resposta

binomn2^2 ou, equivalentemente, n^2(n-1)^24.

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