Calcule a área de um decágono convexo regular inscrito em um círculo de raio 2 cm .

Passo 1

O enunciado pede a área de um decágono convexo regular inscrito num círculo de raio 2,cm. Isso envolve polígonos regulares e divisão em triângulos isósceles cujo vértice comum é o centro do círculo.

Passo 2

Um decágono regular tem n=10 lados. Se ligarmos o centro do círculo a cada vértice, formamos 10 triângulos isósceles congruentes. O ângulo central de cada triângulo é
alpha = 360^circ10 = 36^circ
A área de um desses triângulos é dada por
áreatriang<= = 12,r^2sin(alpha), á
onde r=2,cm.

Passo 3

Somando as áreas dos 10 triângulos, a área do decágono fica
A = 10 times 12 ,r^2sin(36^circ) = 5 ,r^2sin(36^circ) = 5 times (2)^2 sin(36^circ) = 20 ,sin(36^circ)

Passo 4

Para obter um valor exato, usamos a identidade
sin(36^circ) = raiz10 - 2raiz54

Passo 5

Substituindo em A:
A = 20 times raiz10 - 2raiz54 = 5,raiz10 - 2raiz5
Se quisermos uma aproximação numérica,
10 - 2raiz5 approx 5,528, raiz5,528approx 2,351, Aapprox 5times2,351=11,755 cm^2

Resposta

A = 5raiz10 - 2raiz5 cm^2approx 11,76 cm^2

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