Determine a razão entre a área de um decágono regular inscrito em um círculo de raio R e a área do pentágono regular inscrito nesse mesmo círculo.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a área do decágono regular inscrito num círculo de raio R e a área do pentágono regular inscrito no mesmo círculo. O conteúdo envolve a fórmula da área de um polígono regular inscrito em círculo:
An = nR^22,sin!l(2pinr),
onde n é o número de lados.

Passo 2

Aplicamos a fórmula para o decágono ( n=10):
A10 = 10,R^22,sin!l(2pi10r) =5R^2sin!l(36^circr)
E para o pentágono ( n=5):
A5 = 5,R^22,sin!l(2pi5r) =5R^22sin!l(72^circr)

Passo 3

Formamos a razão:
A10A5 =5R^2sin(36^circ)tfrac5R^22sin(72^circ) =5R^2sin(36^circ)5R^2/2;sin(72^circ) =2,sin(36^circ)sin(72^circ)

Passo 4

Usamos a identidade sin(72^circ)=2sin(36^circ)cos(36^circ). Então
A10A5 =2,sin(36^circ)2sin(36^circ)cos(36^circ) =1cos(36^circ) =sec(36^circ)
E, sabendo que cos(36^circ)=tfrac1+raiz54, temos
sec(36^circ) =41+raiz5 =raiz5-1

Resposta

raiz5-1

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