Os lados de um triângulo retângulo são proporcionais aos números 3,4 e 5 . A mediana relativa à hipotenusa tem medida igual ao raio de um círculo circunscrito ao triângulo. Determine a área do triângulo em função do raio r do círculo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo cujos lados são proporcionais a 3, 4 e 5 (portanto é um 3!-!4!-!5 escalado) e informa que a mediana relativa à hipotenusa vale r, que também é o raio do círculo circunscrito. O conteúdo envolve semelhança de triângulos para parametrizar os lados e as fórmulas de raio do circuncírculo e mediana em triângulo retângulo.

Passo 2

Seja k o fator de escala, de modo que os catetos valem 3k e 4k e a hipotenusa vale 5k. Em qualquer triângulo retângulo é conhecido que o raio do circuncírculo é
R = hipotenusa2 = 5k2,
e a mediana relativa à hipotenusa também vale metade da hipotenusa:
mhip = 5k2

Passo 3

Como o enunciado diz que essa mediana vale r, temos
r = mhip = 5k2 Longrightarrow k = 2r5

Passo 4

A área do triângulo retângulo é metade do produto dos catetos:
Área = 12,(3k),(4k) = 6k^2 Á
Substituindo k = tfrac2r5 obtém-se
Área = 6 (2r5)^2 = 6 ,4r^225 = 24,r^225 Á

Resposta

24,r^225

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