Os lados de um triângulo retângulo são proporcionais aos números 3,4 e 5 . A mediana relativa à hipotenusa tem medida igual ao raio de um círculo circunscrito ao triângulo. Determine a área do triângulo em função do raio
do círculo.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo cujos lados são proporcionais a
,
e
(portanto é um
escalado) e informa que a mediana relativa à hipotenusa vale
, que também é o raio do círculo circunscrito. O conteúdo envolve semelhança de triângulos para parametrizar os lados e as fórmulas de raio do circuncírculo e mediana em triângulo retângulo.
Passo 2
Seja
o fator de escala, de modo que os catetos valem
e
e a hipotenusa vale
. Em qualquer triângulo retângulo é conhecido que o raio do circuncírculo é
e a mediana relativa à hipotenusa também vale metade da hipotenusa:
Passo 3
Como o enunciado diz que essa mediana vale
, temos
Passo 4
A área do triângulo retângulo é metade do produto dos catetos:
Substituindo
obtém-se