Calcule a área de um segmento circular de um círculo de raio R e ângulo central medindo:
150^circ

Passo 1

O enunciado pede a área de um segmento circular em um círculo de raio R e com ângulo central de 150^circ. O segmento circular é a região limitada por um arco de círculo e pela corda que une os extremos desse arco. Para encontrar a área do segmento, vamos precisar de:
  • Converter o ângulo para radianos.
  • Calcular a área do setor circular correspondente.
  • Calcular a área do triângulo isósceles formado pelos raios e pela corda.
  • Subtrair a área do triângulo da área do setor.

Passo 2

Convertendo o ângulo theta=150^circ para radianos:
theta = 150^circ times pi180^circ = 5pi6

Passo 3

A área do setor de ângulo theta em um círculo de raio R é
Asetor = 12 R^2 theta
A área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e pela corda é
Atriângulo = 12 R^2 sintheta â
Logo, a área do segmento circular é
Asegmento = Asetor - Atriângulo = 12R^2,theta ;-;12R^2,sintheta â

Passo 4

Substituindo theta=5pi6 e sin!l(tfrac5pi6r)=tfrac12, temos
Asegmento = 12R^2!l(5pi6r) - 12R^2!l(tfrac12r) = R^22l(5pi6-12r)
Colocando em uma forma mais simples,
R^22l(5pi6-12r) = R^2l(5pi12-14r)

Resposta

A área do segmento circular é
boxedA = R^2l(5pi12-14r)

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