Num terreno em forma de triângulo retângulo, de catetos 32 e 27, quer-se construir um edifício de base retangular, de lados paralelos aos catetos. Quais devem ser as dimensões da base do edifício de modo a haver maior aproveitamento do terreno?

Passo 1

O enunciado dá um terreno em formato de triângulo retângulo cujos catetos medem ,32 e ,27, e pede um retângulo de lados paralelos a esses catetos que maximize sua área dentro do triângulo. O conteúdo envolve modelar geometria analítica para expressar a área do retângulo em função de uma variável e usar derivada para otimização.

Passo 2

Vamos colocar o vértice reto do triângulo na origem do plano, o cateto de comprimento ,32 ao longo do eixo x e o cateto de comprimento ,27 ao longo do eixo y. A hipotenusa é a reta que passa por (32,0) e (0,27), cuja equação é
y = -2732,x + 27
Se o retângulo tem um vértice na origem e o vértice oposto em (x,y) sobre a hipotenusa, então seus lados valem x e y.

Passo 3

A área do retângulo é
A(x) = x cdot y = xl(-tfrac2732,x + 27r) = -2732,x^2 + 27,x

Passo 4

Para maximizar A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = -2716,x + 27 = 0 Longrightarrow x = 2727/16 = 16
Como
A''(x) = -2716 < 0,
essa escolha de x dá um máximo local. O outro lado do retângulo é
y = -2732cdot 16 + 27 = -272 + 27 = 272 = 13,5

Passo 5

Logo, o retângulo de área máxima tem lados de comprimento ,16 (paralelo ao cateto de 32) e ,13,5 (paralelo ao cateto de 27).

Resposta

As dimensões da base do edifício devem ser 16 por 13,5.

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