Num terreno em forma de triângulo retângulo, de catetos 32 e 27, quer-se construir um edifício de base retangular, de lados paralelos aos catetos. Quais devem ser as dimensões da base do edifício de modo a haver maior aproveitamento do terreno?
Passo 1
O enunciado dá um terreno em formato de triângulo retângulo cujos catetos medem
e
, e pede um retângulo de lados paralelos a esses catetos que maximize sua área dentro do triângulo. O conteúdo envolve modelar geometria analítica para expressar a área do retângulo em função de uma variável e usar derivada para otimização.
Passo 2
Vamos colocar o vértice reto do triângulo na origem do plano, o cateto de comprimento
ao longo do eixo
e o cateto de comprimento
ao longo do eixo
. A hipotenusa é a reta que passa por
e
, cuja equação é
Se o retângulo tem um vértice na origem e o vértice oposto em
sobre a hipotenusa, então seus lados valem
e
.
Passo 3
A área do retângulo é
Passo 4
Para maximizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Como
essa escolha de
dá um máximo local. O outro lado do retângulo é
Passo 5
Logo, o retângulo de área máxima tem lados de comprimento
(paralelo ao cateto de
) e
(paralelo ao cateto de
).
Resposta
As dimensões da base do edifício devem ser
por
.