Calcule a área de um segmento circular de um círculo de raio R e ângulo central medindo:
60^circ

Passo 1

O enunciado pede a área de um segmento circular de raio R com ângulo central de 60^circ. Para isso, vamos usar que o segmento é a parte do círculo limitada pelo arco de ângulo theta e pela corda que liga as extremidades desse arco. Precisamos calcular a área do setor circular de raio R e ângulo theta e subtrair a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda.

Passo 2

Primeiro, convertemos o ângulo para radianos:
theta = 60^circ = pi3
A área do setor circular de raio R e ângulo theta é
Asetor = theta2pi,pi R^2 = 12R^2theta = 12R^2cdotpi3 = pi R^26

Passo 3

Agora, calculamos a área do triângulo formado pelos dois raios e a corda. Esse triângulo tem lados R, R e ângulo entre eles theta=pi/3, portanto sua área é
Atriângulo = 12R^2sintheta = 12R^2sin!l(tfracpi3r) = 12R^2cdotraiz32 = raiz34R^2 â

Passo 4

A área do segmento circular é a diferença entre a área do setor e a área do triângulo:
Asegmento = Asetor - Atriângulo = pi R^26 - raiz34R^2 = R^2l(pi6 - raiz34r) â

Resposta

Asegmento = R^2l(pi6 - raiz34r)

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