Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de 2 cm de aresta.

Passo 1

O enunciado pede a área total e o volume de um octaedro regular com aresta a=2 cm. Esse poliedro tem faces que são triângulos equiláteros, e vamos usar as fórmulas de área de triângulo e de volume de poliedro regular.

Passo 2

Cada face é um triângulo equilátero de lado a. A área de um triângulo equilátero é
Atri = raiz34,a^2
Como o octaedro tem oito faces, a área total vale
A = 8,Atri = 8 times raiz34,a^2 = 2raiz3,a^2

Passo 3

Substituindo a=2 cm em A = 2raiz3,a^2, temos
A = 2raiz3times(2)^2 = 2raiz3times4 = 8raiz3,cm^2

Passo 4

A fórmula do volume de um octaedro regular é
V = raiz23,a^3
Ela pode ser obtida, por exemplo, dividindo o octaedro em duas pirâmides de base quadrada ou usando coordenadas em R^3.

Passo 5

Substituindo a=2 cm em V = raiz23,a^3, obtemos
V = raiz23times(2)^3 = raiz23times8 = 8raiz23,cm^3

Resposta

A área total é 8raiz3,cm^2.
O volume é 8raiz23,cm^3.

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