Calcule a área do triângulo ABC , sendo AB=4 cm, A=30^circ e C=45^circ.

Passo 1

O enunciado dá o triângulo ABC com o lado AB=4 cm, o ângulo em A igual a 30^circ e o ângulo em C igual a 45^circ. Para achar a área, vamos usar:
  1. A soma dos ângulos internos de um triângulo ( A+B+C=180^circ).
  2. A Lei dos Senos para encontrar um lado desconhecido.
  3. A fórmula da área em função de dois lados e o seno do ângulo entre eles:
Área = tfrac12,(AB),(AC),sin A Á

Passo 2

Calcular o terceiro ângulo B pelo fato de que A+B+C=180^circ:
B = 180^circ - 30^circ - 45^circ = 105^circ

Passo 3

Aplicar a Lei dos Senos para determinar o lado AC (que chamamos de b, oposto a B):
bsin B ;=;ABsin C Longrightarrow b = sin(105^circ)sin(45^circ);4
Sabendo que
sin(45^circ)=tfracraiz22 e
sin(105^circ)=sin(75^circ)=tfracraiz6+raiz24,
segue
b = 4 ;tfracraiz6+raiz24tfracraiz22 =4;raiz6+raiz24;2raiz2 =raiz2l(raiz6+raiz2r) =2raiz3+2

Passo 4

Calcular a área usando
Área=tfrac12,(AB),(AC),sin AÁ.
Como AB=4, AC=b e sin30^circ=tfrac12, temos
Área =tfrac12cdot 4cdot bcdot tfrac12 = b =2raiz3+2 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é
2l(raiz3+1r) cm^2

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