Por um ponto
, interno de um triângulo, conduzimos retas paralelas aos lados. Se as áreas dos triângulos com um vértice em P , determinados por essas retas e pelos lados do triângulo original, são A, B, C, determine a área do triângulo original.
Passo 1
O enunciado diz que em um triângulo
tomamos um ponto
no interior e traçamos por
retas paralelas a
,
e
. Essas paralelas cortam os lados de modo a formar três triângulos “nos cantos” de áreas
,
e
, cada um com um vértice em
, em
e em
, respectivamente. O objetivo é achar a área do triângulo original
em função de
,
e
. Vamos usar semelhança de triângulos e razões de áreas.
Passo 2
Denotemos por
a área de
.
– O triângulo de área , com vértice em
, é semelhante a
. Seja
o quociente de semelhança (razão linear) desse triângulo em relação a
. Como áreas se comparam ao quadrado da razão linear,
– O triângulo de área
Analogamente, para o triângulo de área
junto a
existe razão linear
e
e para o triângulo de área
junto a
existe
tal que
Passo 3
Pelos pontos de interseção das paralelas, cada lado de
fica dividido em três segmentos cujas razões lineares são exatamente
,
e
. A soma desses três segmentos representa todo o lado, logo
(Em coordenadas ou pela soma das partes dos lados, obtém-se esse valor fixo igual a
.)
Passo 4
Das igualdades
e da soma
segue