Por um ponto P, interno de um triângulo, conduzimos retas paralelas aos lados. Se as áreas dos triângulos com um vértice em P , determinados por essas retas e pelos lados do triângulo original, são A, B, C, determine a área do triângulo original.

Passo 1

O enunciado diz que em um triângulo ABC tomamos um ponto P no interior e traçamos por P retas paralelas a BC, CA e AB. Essas paralelas cortam os lados de modo a formar três triângulos “nos cantos” de áreas A, B e C, cada um com um vértice em A, em B e em C, respectivamente. O objetivo é achar a área do triângulo original ABC em função de A, B e C. Vamos usar semelhança de triângulos e razões de áreas.

Passo 2

Denotemos por S a área de triang<= ABC.
– O triângulo de área A, com vértice em A, é semelhante a triang<= ABC. Seja tA o quociente de semelhança (razão linear) desse triângulo em relação a ABC. Como áreas se comparam ao quadrado da razão linear,
A = tA^2,S
Analogamente, para o triângulo de área B junto a B existe razão linear tB e
B = tB^2,S,
e para o triângulo de área C junto a C existe tC tal que
C = tC^2,S

Passo 3

Pelos pontos de interseção das paralelas, cada lado de ABC fica dividido em três segmentos cujas razões lineares são exatamente tA, tB e tC. A soma desses três segmentos representa todo o lado, logo
tA + tB + tC = 2
(Em coordenadas ou pela soma das partes dos lados, obtém-se esse valor fixo igual a 2.)

Passo 4

Das igualdades
tA = raizAS, tB = raizBS, tC = raizCS
e da soma tA+tB+tC=2 segue
raizAS+raizBS+raizCS=2 Longrightarrow raizA+raizB+raizCraizS=2
Longrightarrow raizS=raizA+raizB+raizC2 Longrightarrow S=l(raizA+raizB+raizCr)^24

Resposta

Área do triângulo original ;=;l(raizA+raizB+raizCr)^24 Áâ

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