1. Calcule d y / d x em cada caso.
    (c) y=ln (x^2+42 x+3);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = ln!gl(x^2 + 42x + 3gr)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada ao logaritmo natural e uso da propriedade de que
ln!l(tfracABr) = ln(A) - ln(B)

Passo 2

Usamos a propriedade dos logaritmos para escrever
y = ln(x^2 + 4) ;-; ln(2x + 3)

Passo 3

Derivamos cada termo separadamente usando
ddxln(u) = u'u
Para o primeiro termo, u = x^2+4 e u' = 2x, logo
ddxln(x^2+4) = 2xx^2+4
Para o segundo termo, v = 2x+3 e v' = 2, logo
ddxln(2x+3) = 22x+3

Passo 4

Subtraindo as duas derivadas, obtemos
dydx = 2xx^2+4 ;-; 22x+3 = 2x(2x+3) - 2(x^2+4)(x^2+4)(2x+3)
No numerador:
2x(2x+3) - 2(x^2+4) = 4x^2 + 6x - 2x^2 - 8 = 2x^2 + 6x - 8

Passo 5

Portanto a derivada fica
dydx = 2x^2 + 6x - 8(x^2+4)(2x+3)

Resposta

dydx = 2x^2 + 6x - 8(x^2+4)(2x+3)

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