Verifique que y=(e^2 x-1) /(e^2 x+1) é uma solução da equação diferencial d y / d x=1-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
y = e^2x-1e^2x+1
satisfaz a equação diferencial
dydx = 1 - y^2
Para isso vamos usar a regra do quociente para derivar y(x) e depois calcular 1 - y^2, mostrando que as duas expressões coincidem.

Passo 2

Definimos
u(x) = e^2x-1, v(x) = e^2x+1
Então
u'(x) = 2e^2x, v'(x) = 2e^2x
Pela regra do quociente,
dydx = u'v - uv'v^2 = 2e^2x(e^2x+1) - (e^2x-1),2e^2x(e^2x+1)^2
No numerador fatoramos 2e^2x:
2e^2xl((e^2x+1)-(e^2x-1)r) =2e^2xcdot 2 =4e^2x
Logo
dydx = 4e^2x(e^2x+1)^2

Passo 3

Agora calculamos
1 - y^2 = 1 - (e^2x-1e^2x+1)^2 = (e^2x+1)^2 - (e^2x-1)^2(e^2x+1)^2
Expandindo os quadrados no numerador:
(e^2x+1)^2 - (e^2x-1)^2 = l(e^4x + 2e^2x +1r) - l(e^4x -2e^2x +1r) =4e^2x
Portanto
1 - y^2 = 4e^2x(e^2x+1)^2

Passo 4

Observamos que as expressões obtidas em dydx e em 1 - y^2 coincidem:
dydx =4e^2x(e^2x+1)^2 =1 - y^2
Logo,
y=e^2x-1e^2x+1
é de fato solução da equação diferencial dada.

Resposta

A derivada tfracdydx coincide com 1 - y^2, logo y=(e^2x-1)/(e^2x+1) satisfaz tfracdydx=1-y^2.

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