8.3.10 Calcule o coeficiente binomial binom2 nn até cinco algarismos significativos para n=10,20 e 30 .
(a) a uma aproximação da série de Stirling através de termos em n^-1,
(b) a um cálculo de precisão dupla.
Resposta: binom2010=1,84756 times 10^5,binom4020= & 1,37846 times 10^11, binom6030= & 1,18264 times 10^17

Passo 1

O enunciado pede para calcular o coeficiente binomial
binom2nn
para n=10,20,30 até cinco algarismos significativos de duas maneiras:
(a) usando a expansão de Stirling com termos até O(n^-1),
(b) usando um cálculo direto em precisão dupla (double).

Passo 2

A fórmula de Stirling com o primeiro termo de correção é
n! approx raiz2pi n,l(ner)^nl(1+112nr)
Para o binomial temos
binom2nn =(2n)!(n!)^2 approx raiz4pi n,(tfrac2ne)^2nl(1+tfrac124nr) l[raiz2pi n,(tfracne)^n(1+tfrac112n)r]^2 =4^nraizpi nl(1-18nr),
onde expandimos (1+tfrac124n)/(1+tfrac112n)^2approx1-tfrac18n.

Passo 3

Agora aplicamos
binom2nnrm Stirling approx 4^nraizpi nl(1-18nr)
para cada n e arredondamos a cinco algarismos significativos:
– Para n=10:
4^10raizpicdot10l(1-180r) approx1,8476times10^5
– Para n=20:
4^20raizpicdot20l(1-1160r) approx1,3786times10^11
– Para n=30:
4^30raizpicdot30l(1-1240r) approx1,1827times10^17

Passo 4

No método (b) fazemos o cálculo direto em precisão dupla (por exemplo usando uma biblioteca de fatoriais ou produto em ponto flutuante), obtemos os valores exatos
,184756,;137846528820,;118264581564861424,
e então escrevemos em notação científica com cinco algarismos significativos:
binom2010approx 1,8476 times 10^5
binom4020approx 1,3785 times 10^11
binom6030approx 1,1826 times 10^17

Passo 5

Observa-se que as aproximações de Stirling estão corretas até a quinta casa significativa e concordam com os resultados em dupla precisão, com pequenas diferenças apenas no último dígito de arredondamento.

Resposta

(a) Aproximação de Stirling com termo O(n^-1):
binom2010approx1,8476times10^5, binom4020approx1,3786times10^11, binom6030approx1,1827times10^17
(b) Cálculo em precisão dupla:
binom2010approx1,8476times10^5, binom4020approx1,3785times10^11, binom6030approx1,1826times10^17

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