8.3.10 Calcule o coeficiente binomial
até cinco algarismos significativos para
e 30 .
(a) a uma aproximação da série de Stirling através de termos em
,
(b) a um cálculo de precisão dupla.
(a) a uma aproximação da série de Stirling através de termos em
(b) a um cálculo de precisão dupla.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o coeficiente binomial
para
até cinco algarismos significativos de duas maneiras:
(a) usando a expansão de Stirling com termos até ,
(b) usando um cálculo direto em precisão dupla (double).
(a) usando a expansão de Stirling com termos até
(b) usando um cálculo direto em precisão dupla (double).
Passo 2
A fórmula de Stirling com o primeiro termo de correção é
Para o binomial temos
onde expandimos
.
Passo 3
Agora aplicamos
para cada
e arredondamos a cinco algarismos significativos:
– Para
:
– Para
:
– Para
:
Passo 4
No método (b) fazemos o cálculo direto em precisão dupla (por exemplo usando uma biblioteca de fatoriais ou produto em ponto flutuante), obtemos os valores exatos
,
e então escrevemos em notação científica com cinco algarismos significativos:
e então escrevemos em notação científica com cinco algarismos significativos:
–
–
–
–
–
Passo 5
Observa-se que as aproximações de Stirling estão corretas até a quinta casa significativa e concordam com os resultados em dupla precisão, com pequenas diferenças apenas no último dígito de arredondamento.
Resposta
(a) Aproximação de Stirling com termo
:
(b) Cálculo em precisão dupla: