8.3.10 Calcule o coeficiente binomial \binom{2 n}{n} até cinco algarismos significativos para n=10,20 e 30 .
(a) a uma aproximação da série de Stirling através de termos em n^{-1},
(b) a um cálculo de precisão dupla.
\begin{aligned} \text { Resposta: }\binom{20}{10}=1,84756 \times 10^{5},\binom{40}{20}= & 1,37846 \times 10^{11}, \\\ \binom{60}{30}= & 1,18264 \times 10^{17} . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o coeficiente binomial
\binom{2n}{n}
para n=10,20,30 até cinco algarismos significativos de duas maneiras:
(a) usando a expansão de Stirling com termos até O(n^{-1}),
(b) usando um cálculo direto em precisão dupla (double).

Passo 2

A fórmula de Stirling com o primeiro termo de correção é
n! \approx \sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^n\Bigl(1+\frac{1}{12n}\Bigr).
Para o binomial temos
\binom{2n}{n} =\frac{(2n)!}{(n!)^2} \approx \frac{\sqrt{4\pi n}\,(\tfrac{2n}{e})^{2n}\bigl(1+\tfrac{1}{24n}\bigr)} {\bigl[\sqrt{2\pi n}\,(\tfrac{n}{e})^n(1+\tfrac{1}{12n})\bigr]^2} =\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\Bigl(1-\frac{1}{8n}\Bigr),
onde expandimos (1+\tfrac{1}{24n})/(1+\tfrac{1}{12n})^2\approx1-\tfrac{1}{8n}.

Passo 3

Agora aplicamos
\binom{2n}{n}_{\rm Stirling} \approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\Bigl(1-\frac{1}{8n}\Bigr)
para cada n e arredondamos a cinco algarismos significativos:
– Para n=10:
\frac{4^{10}}{\sqrt{\pi\cdot10}}\Bigl(1-\frac1{80}\Bigr) \approx1,8476\times10^5.
– Para n=20:
\frac{4^{20}}{\sqrt{\pi\cdot20}}\Bigl(1-\frac1{160}\Bigr) \approx1,3786\times10^{11}.
– Para n=30:
\frac{4^{30}}{\sqrt{\pi\cdot30}}\Bigl(1-\frac1{240}\Bigr) \approx1,1827\times10^{17}.

Passo 4

No método (b) fazemos o cálculo direto em precisão dupla (por exemplo usando uma biblioteca de fatoriais ou produto em ponto flutuante), obtemos os valores exatos
\,184756,\;137846528820,\;118264581564861424,
e então escrevemos em notação científica com cinco algarismos significativos:
\binom{20}{10}\approx 1,8476 \times 10^{5}
\binom{40}{20}\approx 1,3785 \times 10^{11}
\binom{60}{30}\approx 1,1826 \times 10^{17}

Passo 5

Observa-se que as aproximações de Stirling estão corretas até a quinta casa significativa e concordam com os resultados em dupla precisão, com pequenas diferenças apenas no último dígito de arredondamento.

Resposta

(a) Aproximação de Stirling com termo O(n^{-1}):
\binom{20}{10}\approx1,8476\times10^5,\quad \binom{40}{20}\approx1,3786\times10^{11},\quad \binom{60}{30}\approx1,1827\times10^{17}.
(b) Cálculo em precisão dupla:
\binom{20}{10}\approx1,8476\times10^5,\quad \binom{40}{20}\approx1,3785\times10^{11},\quad \binom{60}{30}\approx1,1826\times10^{17}.

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