8.3.5 Por expansão direta, verifique a fórmula de duplicação para z=n+\frac{1}{2}, sendo n um inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, no caso
z = n + \tfrac12,\quad n\in\mathbb{Z},
a fórmula de duplicação da função Gamma, que é
\Gamma(z)\,\Gamma\bigl(z+\tfrac12\bigr) =2^{\,1-2z}\,\sqrt\pi\;\Gamma(2z).
Para isso vamos usar a propriedade de recorrência
\Gamma(w+1)=w\,\Gamma(w)
e o valor conhecido
\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt\pi.

Passo 2

Vamos calcular \Gamma\bigl(n+\tfrac12\bigr) por expansão direta.
Usando várias vezes \Gamma(w+1)=w\,\Gamma(w) a partir de w=\tfrac12, obtemos
\Gamma\bigl(n+\tfrac12\bigr) =(n-\tfrac12)(n-\tfrac32)\cdots(\tfrac32)(\tfrac12)\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr).
Note que o produto dos fatores (2k+1)/2 para k=0,1,\dots,n-1 é
\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2k+1}{2} =\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2^n} =\frac{(2n)!}{2^n\,n!\,2^n} =\frac{(2n)!}{4^n\,n!}.
Como \Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi, concluímos
\Gamma\bigl(n+\tfrac12\bigr) =\frac{(2n)!}{4^n\,n!}\,\sqrt\pi.

Passo 3

Em seguida calculamos o produto
\Gamma\bigl(n+\tfrac12\bigr)\,\Gamma\bigl(n+1\bigr).
Mas \Gamma(n+1)=n!, logo
\Gamma\bigl(n+\tfrac12\bigr)\,\Gamma\bigl(n+1\bigr) =\frac{(2n)!}{4^n\,n!}\,\sqrt\pi\;\times n! =\frac{(2n)!}{4^n}\,\sqrt\pi.

Passo 4

Agora olhamos o lado direito da duplicação:
2^{\,1-2z}\,\sqrt\pi\;\Gamma(2z) \quad\text{com }z=n+\tfrac12
fica
2^{\,1-2(n+\tfrac12)}\,\sqrt\pi\;\Gamma\bigl(2n+1\bigr) =2^{\,1-2n-1}\,\sqrt\pi\;(2n)! =2^{-2n}\,(2n)!\,\sqrt\pi.

Passo 5

Comparando os dois resultados:
\Gamma\bigl(n+\tfrac12\bigr)\,\Gamma(n+1) =\frac{(2n)!}{4^n}\,\sqrt\pi \quad\text{e}\quad 2^{-2n}\,(2n)!\,\sqrt\pi,
vemos que 4^n=2^{2n}, de modo que ambos os lados são iguais. Portanto a fórmula de duplicação vale para z=n+\tfrac12.

Resposta

A fórmula de duplicação
\Gamma(z)\,\Gamma\bigl(z+\tfrac12\bigr) =2^{\,1-2z}\,\sqrt\pi\;\Gamma(2z)
é verificada para z=n+\tfrac12.

Exercícios de Livros Relacionados