8.3.5 Por expansão direta, verifique a fórmula de duplicação para z=n+12, sendo n um inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, no caso
z = n + tfrac12, ninZ,
a fórmula de duplicação da função Gamma, que é
Gamma(z),Gammal(z+tfrac12r) =2^,1-2z,raizpi;Gamma(2z)
Para isso vamos usar a propriedade de recorrência
Gamma(w+1)=w,Gamma(w)
e o valor conhecido
Gammal(tfrac12r)=raizpi

Passo 2

Vamos calcular Gammal(n+tfrac12r) por expansão direta.
Usando várias vezes Gamma(w+1)=w,Gamma(w) a partir de w=tfrac12, obtemos
Gammal(n+tfrac12r) =(n-tfrac12)(n-tfrac32)cdots(tfrac32)(tfrac12),Gammal(tfrac12r)
Note que o produto dos fatores (2k+1)/2 para k=0,1,dots,n-1 é
prodk=0^n-12k+12 =1cdot3cdot5cdots(2n-1)2^n =(2n)!2^n,n!,2^n =(2n)!4^n,n!
Como Gamma(tfrac12)=raizpi, concluímos
Gammal(n+tfrac12r) =(2n)!4^n,n!,raizpi

Passo 3

Em seguida calculamos o produto
Gammal(n+tfrac12r),Gammal(n+1r)
Mas Gamma(n+1)=n!, logo
Gammal(n+tfrac12r),Gammal(n+1r) =(2n)!4^n,n!,raizpi;times n! =(2n)!4^n,raizpi

Passo 4

Agora olhamos o lado direito da duplicação:
2^,1-2z,raizpi;Gamma(2z) com z=n+tfrac12
fica
2^,1-2(n+tfrac12),raizpi;Gammal(2n+1r) =2^,1-2n-1,raizpi;(2n)! =2^-2n,(2n)!,raizpi

Passo 5

Comparando os dois resultados:
Gammal(n+tfrac12r),Gamma(n+1) =(2n)!4^n,raizpi e 2^-2n,(2n)!,raizpi,
vemos que 4^n=2^2n, de modo que ambos os lados são iguais. Portanto a fórmula de duplicação vale para z=n+tfrac12.

Resposta

A fórmula de duplicação
Gamma(z),Gammal(z+tfrac12r) =2^,1-2z,raizpi;Gamma(2z)
é verificada para z=n+tfrac12.

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