8.3.5 Por expansão direta, verifique a fórmula de duplicação para
, sendo
um inteiro.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, no caso
a fórmula de duplicação da função Gamma, que é
Para isso vamos usar a propriedade de recorrência
e o valor conhecido
Passo 2
Vamos calcular
por expansão direta.
Usando várias vezes a partir de
, obtemos
Usando várias vezes
Note que o produto dos fatores
para
é
Como
, concluímos
Passo 3
Em seguida calculamos o produto
Mas
, logo
Passo 4
Agora olhamos o lado direito da duplicação:
fica
Passo 5
Comparando os dois resultados:
vemos que
, de modo que ambos os lados são iguais. Portanto a fórmula de duplicação vale para
.
Resposta
A fórmula de duplicação
é verificada para
.