8.3.4 Mostre que a constante
na fórmula de Stirling é igual a
usando o logaritmo da fórmula de duplicação.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, na fórmula de Stirling
a constante
vale
. Vamos usar o logaritmo da fórmula de duplicação da função Gamma:
Passo 2
Tomamos logaritmo em ambos os lados da duplicação:
Passo 3
Substituímos em cada termo à direita a expansão de Stirling até a constante
. Para
temos
Para
usamos
e para
escrevemos
Passo 4
Expandimos
para grandes
:
Logo
Passo 5
Agora montamos o lado direito da duplicação. Somando os termos de Stirling para
e
e juntando com
, obtemos
Passo 6
Por outro lado, do próprio lado esquerdo temos
Igualando as duas expressões para
e cancelando os termos em
e em
, sobram
Como isso vale para todo
grande, comparamos as constantes:
O coeficiente de
dá
, então