8.3.4 Mostre que a constante C_{2} na fórmula de Stirling é igual a \frac{1}{2} \ln 2 \pi usando o logaritmo da fórmula de duplicação.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, na fórmula de Stirling
\ln \Gamma(x) = \Bigl(x-\tfrac12\Bigr)\ln x - x + C_{2} + o(1),
a constante C_{2} vale \tfrac12\ln(2\pi). Vamos usar o logaritmo da fórmula de duplicação da função Gamma:
\Gamma(2x) = \frac{2^{2x-1}}{\sqrt\pi}\,\Gamma(x)\,\Gamma\bigl(x+\tfrac12\bigr).

Passo 2

Tomamos logaritmo em ambos os lados da duplicação:
\ln \Gamma(2x) = (2x-1)\ln 2 - \tfrac12\ln\pi + \ln \Gamma(x) + \ln \Gamma\bigl(x+\tfrac12\bigr).

Passo 3

Substituímos em cada termo à direita a expansão de Stirling até a constante C_{2}. Para \ln \Gamma(x) temos
\ln \Gamma(x) = \Bigl(x-\tfrac12\Bigr)\ln x - x + C_{2} + o(1).
Para \ln \Gamma(2x) usamos
\ln \Gamma(2x) = \Bigl(2x-\tfrac12\Bigr)\ln(2x) - 2x + C_{2} + o(1),
e para \ln \Gamma\bigl(x+\tfrac12\bigr) escrevemos
\ln \Gamma\bigl(x+\tfrac12\bigr) = \Bigl(x\Bigr)\ln\bigl(x+\tfrac12\bigr) - \bigl(x+\tfrac12\bigr) + C_{2} + o(1).

Passo 4

Expandimos \ln(x+\tfrac12) para grandes x:
\ln\bigl(x+\tfrac12\bigr) = \ln x + \ln\Bigl(1+\tfrac1{2x}\Bigr) = \ln x + \frac1{2x} + o\bigl(\tfrac1x\bigr).
Logo
x\,\ln\bigl(x+\tfrac12\bigr) = x\ln x + \tfrac12 + o(1).

Passo 5

Agora montamos o lado direito da duplicação. Somando os termos de Stirling para \ln \Gamma(x) e \ln \Gamma(x+\tfrac12) e juntando com (2x-1)\ln2 - \tfrac12\ln\pi, obtemos
\begin{aligned} \ln \Gamma(2x) &= (2x-1)\ln2 - \tfrac12\ln\pi + \Bigl(x-\tfrac12\Bigr)\ln x - x + C_{2} + \bigl[x\ln x + \tfrac12 - x - \tfrac12 + C_{2}\bigr] + o(1)\\\ &= (2x-1)\ln2 + (2x-\tfrac12)\ln x -2x + 2C_{2} - \tfrac12\ln\pi + o(1). \end{aligned}

Passo 6

Por outro lado, do próprio lado esquerdo temos
\ln \Gamma(2x) = (2x-\tfrac12)\ln(2x) - 2x + C_{2} + o(1) = (2x-\tfrac12)\ln x + (2x-\tfrac12)\ln2 -2x + C_{2} + o(1).
Igualando as duas expressões para \ln \Gamma(2x) e cancelando os termos em x\ln x e em -2x, sobram
(2x-\tfrac12)\ln2 + C_{2} = (2x-1)\ln2 + 2C_{2} - \tfrac12\ln\pi + o(1).
Como isso vale para todo x grande, comparamos as constantes:
(2x-\tfrac12)\ln2 + C_{2} \;=\;(2x-1)\ln2 + 2C_{2} - \tfrac12\ln\pi \;\Longrightarrow\; C_{2} - 2C_{2} = (2x-1)\ln2 - (2x-\tfrac12)\ln2 - \tfrac12\ln\pi.
O coeficiente de \ln2 (2x-1)-(2x-\tfrac12)=-\tfrac12, então
-\,C_{2} = -\tfrac12\ln2 - \tfrac12\ln\pi \;\Longrightarrow\; C_{2} = \tfrac12\ln2 + \tfrac12\ln\pi = \tfrac12\ln(2\pi).

Resposta

C_{2} = \tfrac12\ln(2\pi).

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