8.3.4 Mostre que a constante C2 na fórmula de Stirling é igual a 12 ln 2 pi usando o logaritmo da fórmula de duplicação.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, na fórmula de Stirling
ln Gamma(x) = l(x-tfrac12r)ln x - x + C2 + o(1),
a constante C2 vale tfrac12ln(2pi). Vamos usar o logaritmo da fórmula de duplicação da função Gamma:
Gamma(2x) = 2^2x-1raizpi,Gamma(x),Gammal(x+tfrac12r)

Passo 2

Tomamos logaritmo em ambos os lados da duplicação:
ln Gamma(2x) = (2x-1)ln 2 - tfrac12lnpi + ln Gamma(x) + ln Gammal(x+tfrac12r)

Passo 3

Substituímos em cada termo à direita a expansão de Stirling até a constante C2. Para ln Gamma(x) temos
ln Gamma(x) = l(x-tfrac12r)ln x - x + C2 + o(1)
Para ln Gamma(2x) usamos
ln Gamma(2x) = l(2x-tfrac12r)ln(2x) - 2x + C2 + o(1),
e para ln Gammal(x+tfrac12r) escrevemos
ln Gammal(x+tfrac12r) = l(xr)lnl(x+tfrac12r) - l(x+tfrac12r) + C2 + o(1)

Passo 4

Expandimos ln(x+tfrac12) para grandes x:
lnl(x+tfrac12r) = ln x + lnl(1+tfrac12xr) = ln x + 12x + ol(tfrac1xr)
Logo
x,lnl(x+tfrac12r) = xln x + tfrac12 + o(1)

Passo 5

Agora montamos o lado direito da duplicação. Somando os termos de Stirling para ln Gamma(x) e ln Gamma(x+tfrac12) e juntando com (2x-1)ln2 - tfrac12lnpi, obtemos
ln Gamma(2x) &= (2x-1)ln2 - tfrac12lnpi + l(x-tfrac12r)ln x - x + C2 + l[xln x + tfrac12 - x - tfrac12 + C2r] + o(1) &= (2x-1)ln2 + (2x-tfrac12)ln x -2x + 2C2 - tfrac12lnpi + o(1)

Passo 6

Por outro lado, do próprio lado esquerdo temos
ln Gamma(2x) = (2x-tfrac12)ln(2x) - 2x + C2 + o(1) = (2x-tfrac12)ln x + (2x-tfrac12)ln2 -2x + C2 + o(1)
Igualando as duas expressões para ln Gamma(2x) e cancelando os termos em xln x e em -2x, sobram
(2x-tfrac12)ln2 + C2 = (2x-1)ln2 + 2C2 - tfrac12lnpi + o(1)
Como isso vale para todo x grande, comparamos as constantes:
(2x-tfrac12)ln2 + C2 ;=;(2x-1)ln2 + 2C2 - tfrac12lnpi ;Longrightarrow; C2 - 2C2 = (2x-1)ln2 - (2x-tfrac12)ln2 - tfrac12lnpi
O coeficiente de ln2 (2x-1)-(2x-tfrac12)=-tfrac12, então
-,C2 = -tfrac12ln2 - tfrac12lnpi ;Longrightarrow; C2 = tfrac12ln2 + tfrac12lnpi = tfrac12ln(2pi)

Resposta

C2 = tfrac12ln(2pi).

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