8.3.8 Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo é limites envolvendo fatorial e produtos finitos. Vamos usar a definição de fatorial para transformar o quociente em um produto de termos que a gente consegue analisar ao ir em
.
Passo 2
Observe que, para inteiros fixos
, vale
Passo 3
Como há exatamente
fatores no denominador, podemos escrever
Multiplicando tudo por
, fica
Passo 4
Para cada
fixo em
, temos
porque o termo de ordem mais alta no numerador e no denominador é
.
Passo 5
Como o produto de um número finito de fatores que tendem a
também tende a
, concluímos que