8.3.8 Mostre que
\lim _{x \rightarrow \infty} x^{b-a} \frac{(x+a)!}{(x+b)!}=1 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{x\to\infty}x^{\,b-a}\,\frac{(x+a)!}{(x+b)!}=1.
O conteúdo é limites envolvendo fatorial e produtos finitos. Vamos usar a definição de fatorial para transformar o quociente em um produto de termos que a gente consegue analisar ao ir em x\to\infty.

Passo 2

Observe que, para inteiros fixos a<b, vale
\frac{(x+a)!}{(x+b)!} =\frac{1}{(x+b)(x+b-1)\cdots(x+a+1)}.

Passo 3

Como há exatamente b-a fatores no denominador, podemos escrever
\frac{(x+a)!}{(x+b)!} =\prod_{i=1}^{\,b-a}\frac{1}{\,x+a+i\,}.
Multiplicando tudo por x^{\,b-a}, fica
x^{\,b-a}\,\frac{(x+a)!}{(x+b)!} =\prod_{i=1}^{\,b-a}\frac{x}{\,x+a+i\,}.

Passo 4

Para cada i fixo em \{1,2,\dots,b-a\}, temos
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+a+i} =1
porque o termo de ordem mais alta no numerador e no denominador é x.

Passo 5

Como o produto de um número finito de fatores que tendem a 1 também tende a 1, concluímos que
\lim_{x\to\infty}x^{\,b-a}\,\frac{(x+a)!}{(x+b)!} =1.

Resposta

1

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