8.3.8 Mostre que
lim x infty x^b-a (x+a)!(x+b)!=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxtoinftyx^,b-a,(x+a)!(x+b)!=1
O conteúdo é limites envolvendo fatorial e produtos finitos. Vamos usar a definição de fatorial para transformar o quociente em um produto de termos que a gente consegue analisar ao ir em xtoinfty.

Passo 2

Observe que, para inteiros fixos a<b, vale
(x+a)!(x+b)! =1(x+b)(x+b-1)cdots(x+a+1)

Passo 3

Como há exatamente b-a fatores no denominador, podemos escrever
(x+a)!(x+b)! =prodi=1^,b-a1,x+a+i,
Multiplicando tudo por x^,b-a, fica
x^,b-a,(x+a)!(x+b)! =prodi=1^,b-ax,x+a+i,

Passo 4

Para cada i fixo em 1,2,dots,b-a, temos
limxtoinftyxx+a+i =1
porque o termo de ordem mais alta no numerador e no denominador é x.

Passo 5

Como o produto de um número finito de fatores que tendem a 1 também tende a 1, concluímos que
limxtoinftyx^,b-a,(x+a)!(x+b)! =1

Resposta

1

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