8.3.3 Integrando a Equação (8.51) de z-1 a z, e então deixando que z infty, avalie a constante C1 na série assintótica para a função digama psi(z).

Passo 1

O enunciado refere-se à expansão assintótica da função digama
psi(z)=ddzlnGamma(z)
em potências decrescentes de z, isto é,
psi(z)sim ln z + C1z + C2z^2 + cdots
A Equação (8.51) é justamente essa série para psi(z). Queremos determinar C1 integrando psi(t) de t=z-1 até t=z e fazendo ztoinfty.

Passo 2

Como
integralz-1^zpsi(t),dt = lnGamma(z) - lnGamma(z-1)
e sabemos que Gamma(z)= (z-1),Gamma(z-1), segue
integralz-1^zpsi(t),dt = lnl((z-1)r)

Passo 3

Expandimos para ztoinfty o lado direito:
ln(z-1)=ln z + ln!l(1-1zr) =ln z -1z -12z^2 -13z^3-cdots

Passo 4

Agora integramos termo a termo a série de psi(t):
integralz-1^zl[ln t + C1t + C2t^2+cdotsr]dt =I1+I2+I3+cdots,
onde, ao expandir em potências de 1/z,
  • I1=integralz-1^zln t,dt=ln z -12z-16z^2+cdots,
  • I2=C1integralz-1^zdtt =C1lnzz-1 =C1l(1z+12z^2+cdotsr),
  • I3 e demais só contribuem a partir de z^-2.

Passo 5

Comparando a expansão de
integralz-1^zpsi(t),dt
com a de ln(z-1), igualamos o coeficiente de 1/z:
l(-tfrac12r) + C1 = -1 Longrightarrow C1 = -12

Resposta

C1 = -tfrac12

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