8.3.3 Integrando a Equação (8.51) de z-1 a z, e então deixando que z \rightarrow \infty, avalie a constante C_{1} na série assintótica para a função digama \psi(z).

Passo 1

O enunciado refere-se à expansão assintótica da função digama
\psi(z)=\frac{d}{dz}\ln\Gamma(z)
em potências decrescentes de z, isto é,
\psi(z)\sim \ln z + \frac{C_{1}}{z} + \frac{C_{2}}{z^{2}} + \cdots.
A Equação (8.51) é justamente essa série para \psi(z). Queremos determinar C_{1} integrando \psi(t) de t=z-1 até t=z e fazendo z\to\infty.

Passo 2

Como
\int_{z-1}^{z}\psi(t)\,dt = \ln\Gamma(z) - \ln\Gamma(z-1)
e sabemos que \Gamma(z)= (z-1)\,\Gamma(z-1), segue
\int_{z-1}^{z}\psi(t)\,dt = \ln\bigl((z-1)\bigr).

Passo 3

Expandimos para z\to\infty o lado direito:
\ln(z-1)=\ln z + \ln\!\Bigl(1-\frac1z\Bigr) =\ln z -\frac1z -\frac1{2z^{2}} -\frac1{3z^{3}}-\cdots.

Passo 4

Agora integramos termo a termo a série de \psi(t):
\int_{z-1}^{z}\Bigl[\ln t + \frac{C_{1}}t + \frac{C_{2}}{t^{2}}+\cdots\Bigr]dt =I_{1}+I_{2}+I_{3}+\cdots,
onde, ao expandir em potências de 1/z,
  • I_{1}=\displaystyle\int_{z-1}^{z}\ln t\,dt=\ln z -\frac1{2z}-\frac1{6z^{2}}+\cdots,
  • I_{2}=C_{1}\displaystyle\int_{z-1}^{z}\frac{dt}{t} =C_{1}\ln\frac{z}{z-1} =C_{1}\Bigl(\frac1z+\frac1{2z^{2}}+\cdots\Bigr),
  • I_{3} e demais só contribuem a partir de z^{-2}.

Passo 5

Comparando a expansão de
\displaystyle\int_{z-1}^{z}\psi(t)\,dt
com a de \ln(z-1), igualamos o coeficiente de 1/z:
\Bigl(-\tfrac12\Bigr) + C_{1} = -1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = -\frac12.

Resposta

C_{1} = -\tfrac12.

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