8.3.9 Mostre que
lim n infty (2 n-1)!!(2 n)!! n^1 / 2=pi^-1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
limntoinfty(2n-1)!!(2n)!!,raizn=pi^-1/2
O conteúdo principal envolve manipular duplos fatoriais, reconhecer uma relação com o coeficiente binomial central e usar a fórmula de Stirling para obter o comportamento assintótico de n!.

Passo 2

Vamos reescrever as duplas fatoriais em termos de fatoriais comuns. Lembrando que
(2n)!!=2cdot4cdot6cdots(2n)=2^n,n!
e que
(2n-1)!!=1cdot3cdot5cdots(2n-1) =(2n)!2^n,n!,
temos então
(2n-1)!!(2n)!! =(2n)!2^n,n!2^n,n! =(2n)!2^n,n!,2^n,n! =(2n)!4^n,(n!)^2 =binom2nn4^n

Passo 3

Portanto nosso limite fica
limntoinfty(2n-1)!!(2n)!!,raizn =limntoinftybinom2nn4^n,raizn
Falta, então, achar o comportamento assintótico de binom2nn quando n é grande.

Passo 4

Pela fórmula de Stirling
n!simraiz2pi n,l(ner)^n,
temos para o fatorial duplo
(2n)!simraiz4pi n,l(2ner)^2n
Logo
binom2nn =(2n)!(n!)^2 sim raiz4pi n,(2n/e)^2n l(raiz2pi n,(n/e)^nr)^2 =raiz4pi n,(2n)^2n 2pi n;n^2n =4^nraizpi n

Passo 5

Substituindo essa estimativa em
dfracbinom2nn4^nraizn, obtemos
binom2nn4^n,raizn sim1raizpi n,raizn =1raizpi,
e portanto
limntoinfty(2n-1)!!(2n)!!,raizn =pi^-1/2

Resposta

limntoinfty(2n-1)!!(2n)!!,raizn =pi^-1/2

Exercícios de Livros Relacionados