8.3.9 Mostre que
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} n^{1 / 2}=\pi^{-1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
\lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\,\sqrt{n}=\pi^{-1/2}.
O conteúdo principal envolve manipular duplos fatoriais, reconhecer uma relação com o coeficiente binomial central e usar a fórmula de Stirling para obter o comportamento assintótico de n!.

Passo 2

Vamos reescrever as duplas fatoriais em termos de fatoriais comuns. Lembrando que
(2n)!!=2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n\,n!
e que
(2n-1)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) =\frac{(2n)!}{2^n\,n!},
temos então
\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} =\frac{\displaystyle\frac{(2n)!}{2^n\,n!}}{2^n\,n!} =\frac{(2n)!}{2^n\,n!\,2^n\,n!} =\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2} =\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}.

Passo 3

Portanto nosso limite fica
\lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\,\sqrt{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\,\sqrt{n}.
Falta, então, achar o comportamento assintótico de \binom{2n}{n} quando n é grande.

Passo 4

Pela fórmula de Stirling
n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^n,
temos para o fatorial duplo
(2n)!\sim\sqrt{4\pi n}\,\Bigl(\frac{2n}{e}\Bigr)^{2n}.
Logo
\binom{2n}{n} =\frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{\sqrt{4\pi n}\,(2n/e)^{2n}} {\bigl(\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n\bigr)^2} =\frac{\sqrt{4\pi n}\,(2n)^{2n}} {2\pi n\;n^{2n}} =\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.

Passo 5

Substituindo essa estimativa em
\dfrac{\binom{2n}{n}}{4^n}\sqrt{n}, obtemos
\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\,\sqrt{n} \sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\,\sqrt{n} =\frac{1}{\sqrt{\pi}},
e portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\,\sqrt{n} =\pi^{-1/2}.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\,\sqrt{n} =\pi^{-1/2}.

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