8.3.9 Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
O conteúdo principal envolve manipular duplos fatoriais, reconhecer uma relação com o coeficiente binomial central e usar a fórmula de Stirling para obter o comportamento assintótico de
.
Passo 2
Vamos reescrever as duplas fatoriais em termos de fatoriais comuns. Lembrando que
e que
temos então
Passo 3
Portanto nosso limite fica
Falta, então, achar o comportamento assintótico de
quando
é grande.
Passo 4
Pela fórmula de Stirling
temos para o fatorial duplo
Logo
Passo 5
Substituindo essa estimativa em
, obtemos
e portanto