Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
y=pi^x sen x e^x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = pi^,xsin x,e^x
e pede y'. Como temos um produto de uma potência de base fixa com expoente variável e uma exponencial, é muito conveniente usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para simplificar produto e potência:
ln y = lnl(pi^,xsin xe^xr)
Pela propriedade dos logaritmos, isso se divide em
ln y = lnl(pi^,xsin xr) + lnl(e^xr)

Passo 3

Agora aplicamos as regras de potência e exponencial no logaritmo:
ln y = xsin x;lnpi ;+; x

Passo 4

Diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo aparece
ddx(ln y)=y'y
No lado direito, a derivada de xsin x é sin x + xcos x e a de x é 1, logo
y'y = (sin x + xcos x),lnpi ;+; 1

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por y e voltamos a escrever y:
y' = yl[(sin x + xcos x)lnpi + 1r]
y' = pi^,xsin xe^xl[(sin x + xcos x)lnpi + 1r]

Resposta

y' = pi^,xsin xe^xl[(sin x + xcos x)lnpi + 1r]

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