Calcule o valor do determinante |llll1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 & 2 1 & 2 & 3 & 3 1 & 2 & 3 & 4|.

Passo 1

O problema pede para calcular o determinante da matriz
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 & 2 1 & 2 & 3 & 3 1 & 2 & 3 & 4
Vamos usar operações elementares de linha para criar zeros e depois desenvolver por cofator.

Passo 2

Subtraímos a primeira linha das demais para introduzir zeros na primeira coluna abaixo do pivô. Isso não altera o valor do determinante.
R 2 : = R 2 – R 1, R 3 : = R 3 – R 1 e R 4 : = R 4 – R 1, obtendo
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 2 & 3

Passo 3

Agora expandimos o determinante ao longo da primeira coluna. Como só o elemento ( 1,1) é não nulo, temos
det(A) = 1 times det(M),
onde
M = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3
é o menor correspondente.

Passo 4

Para calcular det(M), fazemos operações semelhantes: subtraímos a primeira linha de R 2 e de R 3 em M, gerando
1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 2
Agora, desenvolvendo por cofator na primeira coluna,
det(M) = 1 times det!1 & 1 1 & 2 = 1 times (1cdot2 - 1cdot1) = 1

Passo 5

Juntando tudo, det(A) = 1 times det(M) = 1 times 1 = 1.

Resposta

1

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