Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace.
M=[rrrrr1 & 2 & 3 & 4 & 5 0 & a & -1 & 3 & 1 0 & 0 & b & 2 & 3 0 & 0 & 0 & c & 2 0 & 0 & 0 & 0 & d]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M= 1 & 2 & 3 & 4 & 5 0 & a & -1 & 3 & 1 0 & 0 & b & 2 & 3 0 & 0 & 0 & c & 2 0 & 0 & 0 & 0 & d
usando o teorema de Laplace. O conteúdo envolvido é cálculo de determinante por expansão de Laplace e reconhecimento de matrizes triangulares.

Passo 2

Aplicamos a expansão de Laplace ao longo da primeira coluna. Pelo teorema de Laplace,
det(M) =sumi=1^5(-1)^,i+1,Mi1,det(Mi1),
onde Mi1 é o menor obtido eliminando a i-ésima linha e a primeira coluna.

Passo 3

Na primeira coluna de M só há um elemento não nulo: M11=1. Todos os outros Mi1=0 para i=2,3,4,5. Logo
det(M) =1cdotdetl(M11r)
onde M11 é a submatriz 4times4 que surge retirando a primeira linha e primeira coluna de M.

Passo 4

A submatriz M11 é
a & -1 & 3 & 1 0 & b & 2 & 3 0 & 0 & c & 2 0 & 0 & 0 & d ,
que é triangular superior. Para qualquer matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto
detl(M11r)=acdot bcdot ccdot d

Resposta

det(M)=a,b,c,d

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