Calcule a medida do raio da base de um cilindro equilátero, sabendo que sua área total mede 300 \pi \mathrm{~cm}^{2} e a geratriz 40 cm .

Passo 1

O enunciado dá um cilindro reto cuja geratriz é g=40,cm (no cilindro reto a geratriz coincide com a altura h) e cuja área total é
A_{\rm total}=300\pi\text{ cm}^2.
Pede-se o raio da base r. Para isso vamos usar a fórmula da área total de um cilindro reto,
A_{\rm total}=2\pi r^2 + 2\pi r h,
sabendo que h=g.

Passo 2

Como h=g=40,cm, substituímos em
A_{\rm total}=2\pi r^2 + 2\pi r h
para obter
300\pi = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 40.

Passo 3

Simplificamos dividindo ambos os lados por \pi:
300 = 2r^2 + 80r.
Em seguida dividimos tudo por 2:
150 = r^2 + 40r,
ou seja
r^2 + 40r - 150 = 0.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
r^2 + 40r - 150 = 0
pelo discriminante:
\Delta = 40^2 - 4\cdot1\cdot(-150) = 1600 + 600 = 2200,
\sqrt{\Delta} = \sqrt{2200} = 10\sqrt{22}.
As raízes são
r = \frac{-40 \pm 10\sqrt{22}}{2} = -20 \pm 5\sqrt{22}.

Passo 5

Como r deve ser positivo, tomamos
r = -20 + 5\sqrt{22}\quad(\text{cm}).
Em valor aproximado,
r \approx -20 + 5\cdot4{,}690 = -20 +23{,}45 = 3{,}45\text{ cm}.

Resposta

r = -20 + 5\sqrt{22}\text{ cm}\approx3{,}45\text{ cm}.
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