Um plano secciona um cilindro paralelamente ao eixo e forma um arco de 60^circ com a base do cilindro. A altura do cilindro é de 20 cm . Determine a área da seção, se a distância do plano ao eixo é de 4 cm .

Passo 1

O enunciado diz que um cilindro de altura 20 cm é cortado por um plano paralelo ao eixo. Esse plano intercepta a base circular numa corda que determina um arco de 60^circ no círculo da base, e a distância dessa corda ao centro da base (isto é, ao eixo) é 4 cm. Queremos a área da seção obtida, que será um retângulo de altura 20 cm e largura igual ao comprimento dessa corda.

Passo 2

Num círculo de raio R, uma corda que subtende arco de 60^circ tem comprimento
ell = 2,Rsinl(30^circr)=R
Por outro lado, chamando de d=4 cm a distância do centro à corda, também vale
ell = 2raizR^2 - d^2 = 2raizR^2 - 4^2

Passo 3

Igualando as duas expressões para ell e resolvendo para R:
2raizR^2 - 16 = R
raizR^2 - 16 = R2
R^2 - 16 = R^24
34R^2 = 16
R^2 = 643
R = 8raiz3

Passo 4

A corda tem comprimento ell = R = tfrac8raiz3 cm. A figura de seção é um retângulo de largura ell e altura 20 cm, logo sua área é
A = ell times 20 = 8raiz3times 20 = 160raiz3 = 160raiz33,cm^2

Resposta

160raiz33,cm^2

Exercícios de Livros Relacionados