Calcule y e z, de modo que o número 3 y 4.5 z 8 seja divisível por 99 .

Passo 1

O enunciado pede os dígitos ,y e ,z de modo que o número de seis algarismos
N = 3,y,4,5,z,8
seja divisível por 99.
Como 99=9cdot 11, precisamos que N seja simultaneamente divisível por 9 e por 11.

Passo 2

Regra de divisibilidade por 9: a soma dos algarismos de N deve ser múltiplo de 9.
Os dígitos de N somam
3 + y + 4 + 5 + z + 8 = 20 + y + z
Logo, devemos ter
20 + y + z equiv 0 pmod9 Longrightarrow y + z equiv -20 equiv 7 pmod9
Como y e z são dígitos ( 0<= y,z<=9), a única soma possível é
y + z = 7 ou y + z = 16

Passo 3

Regra de divisibilidade por 11: a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares deve ser múltiplo de 11.
Numerando d1=3, d2=y, d3=4, d4=5, d5=z, d6=8, temos
(d1 + d3 + d5) - (d2 + d4 + d6) = (3 + 4 + z) - (y + 5 + 8) = z - y - 6
Portanto
z - y - 6 equiv 0 pmod11 Longrightarrow z - y = 6 ou z - y = -5
(esses são os múltiplos de 11 compatíveis com -15<= z-y-6<=9).

Passo 4

Agora combinamos as duas condições:
1. Se z - y = 6, então z = y + 6 e
y + z = y + (y+6) = 2y + 6
deve ser 7 ou 16.
2y + 6 = 7 ;Rightarrow;y = tfrac12(não dígito), 2y + 6 = 16;Rightarrow;y = 5,;z=11;(fora de 09) ãí
Não há solução válida nesse caso.
2. Se z - y = -5, então z = y - 5 e
y + z = y + (y-5) = 2y -5
deve ser 7 ou 16.
2y - 5 = 7 ;Rightarrow;2y = 12;Rightarrow;y = 6,;z = 1; 2y -5 =16;Rightarrow;2y = 21;(não inteiro) ã
A única solução válida é y=6 e z=1.

Passo 5

Verificação rápida para y=6, z=1:
– Soma dos dígitos = 3+6+4+5+1+8=27, múltiplo de 9.
– Diferença alternada = (3+4+1)-(6+5+8)=8-19=-11, múltiplo de 11.

Resposta

y = 6, z = 1.

Exercícios de Livros Relacionados