Substitua as letras y ou z de modo que o número:
3.y 7 z seja divisível por 3, 5, 9 e 10, simultaneamente.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os dígitos y e z de modo que o número de quatro algarismos
3y7z
seja simultaneamente divisível por 3, 5, 9 e 10. Para isso, vamos usar as regras de divisibilidade:
  • Por 10: último dígito igual a zero.
  • Por 5: último dígito igual a 0 ou 5.
  • Por 9: soma dos dígitos múltipla de 9.
  • Por 3: soma dos dígitos múltipla de 3.

Passo 2

Para que o número seja divisível por 10, o último dígito z deve ser zero. Como isso também garante a divisibilidade por 5, temos
z = 0

Passo 3

Para a divisibilidade por 9, a soma dos dígitos deve ser múltipla de 9. A soma é
3 + y + 7 + z = 3 + y + 7 + 0 = 10 + y
Queremos 10 + y ser múltiplo de 9, ou seja,
10 + y equiv 0 pmod9 Longrightarrow y equiv -10 equiv 8 pmod9
Como y é um dígito de 0 a 9, concluímos
y = 8

Passo 4

Se a soma dos dígitos é 10 + 8 = 18, o número é múltiplo de 9 e, consequentemente, também de 3.

Passo 5

Substituindo y=8 e z=0, o número fica
3870,
que de fato é divisível por 3, 5, 9 e 10.

Resposta

y = 8 e z = 0. O número é 3870.

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