Calcule o produto dos 101 termos iniciais da P.G. alternante em que a51=-1.

Passo 1

O enunciado pede o produto dos primeiros 101 termos de uma progressão geométrica alternante (ou seja, uma P.G. cujo razão r é negativa) sabendo que
a51 = -1
Vamos usar a forma geral dos termos de P.G. e depois explorar simetria para calcular o produto sem precisar conhecer a1 nem r explicitamente.

Passo 2

Como é uma P.G., o n-ésimo termo vale
an = a1 , r^,n-1
Em particular, para n=51 temos
a51 = a1,r^50 = -1 tag1

Passo 3

Denotando por
P = prodk=1^101 ak
o produto que queremos, podemos agrupar termos simetricamente em torno de a51. Para cada k=1,2,dots,50 formamos o par l(ak,a102-kr). Note que
ak,a102-k = l(a1,r^,k-1r),l(a1,r^,101-kr) = a1^2,r^(k-1)+(101-k) = a1^2,r^100
Há exatamente 50 desses pares, e sobra o termo do meio a51=-1. Logo
P = l(a1^2,r^100r)^50,times(-1)

Passo 4

Use agora a relação (1). Observe que
a1,r^50=-1 Longrightarrow l(a1,r^50r)^2 = (-1)^2 = 1
Mas
l(a1^2,r^100r)^50 = l((a1,r^50)^2r)^50 = 1^50 =1
Portanto
P = 1 times (-1) = -1

Resposta

-1

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