Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Calcule a soma da série
12+13+14+19+ldots+12^n+13^n+12^n+1+13^n+1+ldots=
=sumn=1^infty(12^n+13^n).

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=1^inftyl(tfrac12^n+tfrac13^nr)
O conteúdo aqui é soma de séries geométricas, pois cada uma das duas parcelas forma uma progressão geométrica infinita.

Passo 2

Vamos separar em duas séries geométricas:
S1 = sumn=1^infty12^n e S2 = sumn=1^infty13^n

Passo 3

Para S1 temos primeiro termo a=tfrac12 e razão r=tfrac12. A fórmula da soma é
S1 = a1-r = tfrac121-tfrac12 = tfrac12tfrac12 = 1

Passo 4

Para S2 temos primeiro termo a=tfrac13 e razão r=tfrac13. Assim,
S2 = a1-r = tfrac131-tfrac13 = tfrac13tfrac23 = 12

Passo 5

Somando as duas contribuições, a série completa vale
S = S1 + S2 = 1 + tfrac12 = tfrac32

Resposta

tfrac32

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